冒泡排序的算法分析与改进

交换排序的基本思想是：两两比较待排序记录的关键字，发现两个记录的次序相反时即进行交换，直到没有反序的记录为止。

　　应用交换排序基本思想的主要排序方法有：冒泡排序和快速排序。

　　冒泡排序

　　1、排序方法

　　将被排序的记录数组R[1..n]垂直排列，每个记录R看作是重量为R.key的气泡。根据轻气泡不能在重气泡之下的原则，从下往上扫描数组R：凡扫描到违反本原则的轻气泡，就使其向上"飘浮"。如此反复进行，直到最后任何两个气泡都是轻者在上，重者在下为止。

　　（1）初始

　　R[1..n]为无序区。

　　（2）第一趟扫描

　　从无序区底部向上依次比较相邻的两个气泡的重量，若发现轻者在下、重者在上，则交换二者的位置。即依次比较(R
，R[n-1])，(R[n- 1]，R[n-2])，…，(R[2]，R[1])；对于每对气泡(R[j+1]，R[j])，若R[j+1].key<R[j].key，则交换 R[j+1]和R[j]的内容。

　　第一趟扫描完毕时，"最轻"的气泡就飘浮到该区间的顶部，即关键字最小的记录被放在最高位置R[1]上。

　　（3）第二趟扫描

　　扫描R[2..n]。扫描完毕时，"次轻"的气泡飘浮到R[2]的位置上……

　　最后，经过n-1 趟扫描可得到有序区R[1..n]

　　注意：

　　第i趟扫描时，R[1..i-1]和R[i..n]分别为当前的有序区和无序区。扫描仍是从无序区底部向上直至该区顶部。扫描完毕时，该区中最轻气泡飘浮到顶部位置R上，结果是R[1..i]变为新的有序区。

　　2、冒泡排序过程示例

　　对关键字序列为49 38 65 97 76 13 27 49的文件进行冒泡排序的过程

　　3、排序算法

　　（1）分析

　　因为每一趟排序都使有序区增加了一个气泡，在经过n-1趟排序之后，有序区中就有n-1个气泡，而无序区中气泡的重量总是大于等于有序区中气泡的重量，所以整个冒泡排序过程至多需要进行n-1趟排序。

　　若在某一趟排序中未发现气泡位置的交换，则说明待排序的无序区中所有气泡均满足轻者在上，重者在下的原则，因此，冒泡排序过程可在此趟排序后终止。为此，在下面给出的算法中，引入一个布尔量exchange，在每趟排序开始前，先将其置为FALSE。若排序过程中发生了交换，则将其置为TRUE。各趟排序结束时检查exchange，若未曾发生过交换则终止算法，不再进行下一趟排序。

　　（2）具体算法

　　void BubbleSort(SeqList R)

　　{ //R（l..n)是待排序的文件，采用自下向上扫描，对R做冒泡排序

　　int i，j；

　　Boolean exchange； //交换标志

　　for(i=1;i<n;i++){ //最多做n-1趟排序

　　exchange=FALSE； //本趟排序开始前，交换标志应为假

　　for(j=n-1;j>=i；j--) //对当前无序区R[i..n]自下向上扫描

　　if(R[j+1].key<R[j].key){//交换记录

　　R[0]=R[j+1]； //R[0]不是哨兵，仅做暂存单元

　　R[j+1]=R[j]；

　　R[j]=R[0]；

　　exchange=TRUE； //发生了交换，故将交换标志置为真

　　}

　　if(!exchange) //本趟排序未发生交换，提前终止算法

　　return；

　　} //endfor(外循环)

　　} //BubbleSort

　　4、算法分析

　　（1）算法的最好时间复杂度

　　若文件的初始状态是正序的，一趟扫描即可完成排序。所需的关键字比较次数C和记录移动次数M均达到最小值：

　　Cmin=n-1

　　Mmin=0。

　　冒泡排序最好的时间复杂度为O(n)。

　　（2）算法的最坏时间复杂度

　　若初始文件是反序的，需要进行n-1趟排序。每趟排序要进行n-i次关键字的比较(1≤i≤n-1)，且每次比较都必须移动记录三次来达到交换记录位置。在这种情况下，比较和移动次数均达到最大值：

　　Cmax=n(n-1)/2=O(n2)

　　Mmax=3n(n-1)/2=O(n2)

　　冒泡排序的最坏时间复杂度为O(n2)。

　　（3）算法的平均时间复杂度为O(n2)

　　虽然冒泡排序不一定要进行n-1趟，但由于它的记录移动次数较多，故平均时间性能比直接插入排序要差得多。

　　（4）算法稳定性

　　冒泡排序是就地排序，且它是稳定的。

　　5、算法改进

　　上述的冒泡排序还可做如下的改进：

　　(1)记住最后一次交换发生位置lastExchange的冒泡排序

　　在每趟扫描中，记住最后一次交换发生的位置lastExchange，（该位置之前的相邻记录均已有序）。下一趟排序开始时，R[1.. lastExchange-1]是有序区，R[lastExchange..n]是无序区。这样，一趟排序可能使当前有序区扩充多个记录，从而减少排序的趟数。具体算法【参见习题】。

　　(2) 改变扫描方向的冒泡排序

　　①冒泡排序的不对称性

　　能一趟扫描完成排序的情况：

　　只有最轻的气泡位于R
的位置，其余的气泡均已排好序，那么也只需一趟扫描就可以完成排序。

　　【例】对初始关键字序列12，18，42，44，45，67，94，10就仅需一趟扫描。

　　需要n-1趟扫描完成排序情况：

　　当只有最重的气泡位于R[1]的位置，其余的气泡均已排好序时，则仍需做n-1趟扫描才能完成排序。

　　【例】对初始关键字序列：94，10，12，18，42，44，45，67就需七趟扫描。

　　②造成不对称性的原因

　　每趟扫描仅能使最重气泡"下沉"一个位置，因此使位于顶端的最重气泡下沉到底部时，需做n-1趟扫描。

　　③改进不对称性的方法

　　在排序过程中交替改变扫描方向，可改进不对称性。