计算点、线、面等元素之间的交点、交线、封闭区域面积和闭合集(续7)

介绍求取平面上顶点集合凸包的Graham Scan和Andrew's Monotone Chain方法。基本原理是在顶点排序好后，初始化一栈，循环取出顶点集合中每个顶点元素，将其与栈顶两元素进行判别，看是否符合凸包条件，循环结束后，栈中剩余元素即为所求。具体过程如下。

求凸包Graham Scan方法。它的大致过程是：

找到最右下顶点P0后，以各顶点与P0X的夹角来排序所有的集合中顶点。实际工作中，可简化角度计算工作，而通过前面章节介绍的isLeft()函数，来判断顶点P2是否处于线段P0P1左边，从而判断夹角的大小。设这些经过排序的顶点为P0，P1，…Pn-1；

邻接关系判断图




将顶点排好序

然后，建立一个栈，最开始时P0，P1进栈，对于剩下的顶点P2，P3，…Pn-1等依次取出，若栈顶的开头两个顶点与新取出的顶点不满足“左转”（即isLeft()函数返回数值大于0）条件，则将栈顶的第一个顶点出栈，继续测试，直到满足“左转”条件后将新取出的顶点进栈；所有剩下的顶点P2，P3，…Pn-1处理完之后栈中剩下的顶点构成凸包。

需说明的是，此方法很难推进到三维空间。

参考代码：

//主程序

Stack GrahamScan( )

{

Stack top;

int i;

Point p1, p2;

top = NULL;

top = Push ( &P[0], top );

top = Push ( &P[1], top ); //初始化栈

i = 2;

while ( i < n ) //对所有的排序后顶点循环

{

if( !top->next) printf("Error"n"); //栈中没有第二个元素，报出错信息

p1 = top->next->p;

p2 = top->p; //取出栈顶的两个元素

if ( isLeft( p1->v , p2->v, P[i].v ) )//判断是否左转

{

top = Push ( &P[i], top ); //压栈

i++; //顶点计数器增加

}

else

top = Pop( top ); //退栈

}

return top; //栈中剩下的元素即为构成凸包的顶点

}

//开始准备工作中寻找所有顶点中右下角顶点

int FindLowest( void )

{

int i;

int m = 0;

for ( i = 1; i < n; i++ ) //对所有顶点循环

if ( (P[i].v[Y] < P[m].v[Y]) ||

((P[i].v[Y] == P[m].v[Y]) && (P[i].v[X] > P[m].v[X])) )

m = i;

return m; //返回右下角最低点索引

}

求凸包Andrew's Monotone Chain方法。

首先，依X轴和Y轴数值顺序排列所有顶点。



以最左(当X轴数值相同的时候，以Y轴数值最下和最上取顶点)至最右边的顶点(当X轴数值相同的时候，以Y轴数值最下和最上取顶点)连线，构成Lup，Llow等线段，将顶点集合分成上下两部分，分别使用类似于上面介绍的Graham Scan方法寻求子凸包，最后合并形成一个凸包（注意连接处顶点的重复存储）。

参考代码：

// 输入经过排序的顶点数组 P[]，n为数组中顶点个数

// 输出: 凸包的顶点集合 H[]

// 返回: H[]中的顶点个数

int CDEMAlgorithm::chainHull_2D( Point* P, int n, Point* H )

{

// 输出的数组H[]被用作一个栈

int bot=0, top=(-1); // 指示栈底和栈顶

int i;

int minmin = 0, minmax; // 得到X轴最小情况下Y轴分别最小和最大顶点的索引

double xmin = P[0].x;

for (i=1; i<n; i++)

if (P[i].x != xmin) break; //顶点已经排好序，搜索开始阶段的X轴最小值

minmax = i-1; //记录X轴最小情况下Y轴最大顶点的索引

if (minmax == n-1) { // 如果出现极端情况，即所有顶点X轴数值都最小

H[++top] = P[minmin];

if (P[minmax].y != P[minmin].y) // 如果两顶点的Y轴数值不等，则可构成线段

H[++top] = P[minmax];

H[++top] = P[minmin]; // 将这两个顶点增加到输出的数组中

return top+1; //返回输出的数组中的顶点个数

}

int maxmin, maxmax = n-1; // 得到X轴数值最大情况下 Y轴数值分别最小和最大的顶点索引

double xmax = P[n-1].x;

for (i=n-2; i>=0; i--) //从顶点的原始数组中反向循环，因为顶点已排好序

if (P[i].x != xmax) break;

maxmin = i+1; //记录X轴数值最大情况下Y轴数值最小的顶点索引

H[++top] = P[minmin]; // 开始计算下半部分凸包，首先将X轴和Y轴数值都最小的顶点压入栈

i = minmax; //从X轴数值最小情况下Y轴数值最大的顶点开始计数

while (++i <= maxmin)

{

// 以X轴和Y轴数值最小顶点连接X轴最大和Y轴数值最小顶点建立低线

if (isLeft( P[minmin], P[maxmin], P[i]) >= 0 && i < maxmin)

continue; // 由于此顶点位于这根低线之上，所以忽略，继续下次循环

while (top > 0) // top是从最开始的-1计数，所以大于0的话，表明栈中至少有2个元素

{

if (isLeft( H[top-1], H[top], P[i]) > 0)

break; //表明P[i]顶点是需要的凸包中新顶点，结束循环

else

top--; //将栈顶元素出栈，继续循环

}

H[++top] = P[i]; // 将顶点P[i]压入栈

}

// 下面，计算上半部分的凸包顶点集合

if (maxmax != maxmin) // 如果X轴数值最大情况下Y轴有不同顶点存在

H[++top] = P[maxmax]; // 将X轴数值与Y轴数值最大的顶点压入栈

bot = top; // 记住准备增加元素到栈前已经存在的元素个数

i = maxmin; //从X轴数值最大情况下Y轴数值最小的顶点开始计数

while (--i >= minmax)

{

// 以X轴和Y轴数值最大顶点连接X轴最小和Y轴数值最大顶点建立高线

if (isLeft( P[maxmax], P[minmax], P[i]) >= 0 && i > minmax)

continue; // 由于此顶点位于这根高线之下，所以忽略，继续下次循环

while (top > bot) // top还是比开始记住的bot大，表明栈中至少有2个元素

{

if (isLeft( H[top-1], H[top], P[i]) > 0)

break; //表明P[i]顶点是需要的凸包中新顶点，结束循环

else

top--; //将栈顶元素出栈，继续循环

}

H[++top] = P[i]; // 将顶点P[i]压入栈

}

if (minmax != minmin) //如果X轴数值最小情况下Y轴有不同顶点存在

H[++top] = P[minmin]; // 把这最后一个顶点压入栈

return top+1; //返回输出的凸包数组中的顶点个数

}