典型算法与ACM题目解析(1)—寻找最大流的标号法

[align=center]典型算法与ACM题目解析(1)—寻找最大流的标号法[/align]

这种算法又叫Ford-Fulkerson算法，算法的核心思想是使用标号的方法不断寻找一个图上的可增广路径并且进行调整，直到找不到可增广路径为止，此时得到的可行流即是该网络的最大流。

算法导论上对这种算法的伪码表示如下

FORD-FULKERSON(G, s, t)
1 for each edge (u, v) E[G]
2 do f[u, v] ← 0
3 f[v, u] ← 0
4 while there exists a path p from s to t in the residual network Gf
5 do cf(p) ← min {cf(u, v) : (u, v) is in p}
6 for each edge (u, v) in p
7 do f[u, v] ← f[u, v] + cf(p)
8 f[v, u] ← -f[u, v]

Google Code Jam 2006提供的第一道练习题所用的算法就是以上所说的算法

题目的大意是，给一个无向图和图上任意两点之间是否有通路，一个人从0点到1点总共最多有多少条不同的道路可选，要求一个点(0,1除外)最多只能有一条道路覆盖，要求最多有多少条满足这个条件的从0点到1点的道路。

由于题目给出的数据量太小，总点数只有12，估计搜索或枚举之类的方法应该可以通过，但是这道题最好的方法还是上面所说的求最大流的FF算法，如何将这个图转化成我们求最大流的图呢？我们常用的方法是拆点法。

将0,1之外的其它点全部都拆成两个，Xa和Xb,设到点某点Y有一条到X的路径，就设Yb->Xa的流量为1，同时设置Xa->Xb的流量为1，那么从X点流进的流量可能大于1，流出的流量也可能大于1，但是流经X点的流量最大为1，这也就保证了只有一条路经过X。

这个算法在平均情况下是O(V^3)的，在数据量如此之小的情况下不存在超时的可能性，当然除非程序出现了死循环。

代码如下:

PS:由于TopCoder只要求参赛者写出一个类和一个方法即可，所以此题的代码和ACM的代码有很大的不同，最重要的一点就是编译后不会生成.exe文件，毕竟程序里面没有main函数嘛！

/********************************************/
/* Google Code Jam practice 1 */
/* Algo:max-flow */
/* Author:Sempr */
/********************************************/

#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#define SIZE 30
using namespace std;

class SalesRouting
{
int Q[SIZE];
int Qf[SIZE];
int c[SIZE][SIZE];
int f[SIZE][SIZE];
int M, N;
int maxflow(int s, int t)
{
int head, tail, i;
int h;
int flow = 0;
memset(f, 0, sizeof(f));
while (1)
{
head = 0;
tail = 1;
Q[0] = s;
memset(Qf, -1, sizeof(Qf));
Qf[s] = 0;
while (head < tail)
{
h = Q[head++];
for (i = 0; i < N; i++)
{
if (-1 == Qf[i] && c[h][i] > f[h][i])
{
Q[tail++] = i;
Qf[i] = h;
}
}
if (Qf[t] != -1)
break;
}
if (-1 == Qf[t])
break;
h = t;
while (h != s)
{
f[Qf[h]][h]++;
f[h][Qf[h]] = -f[Qf[h]][h];
h = Qf[h];
}
flow++;
}
return flow;
}
public:
int howMany(vector <string> adj)
{
int i, j;
M = adj.size();
N = (M - 1) * 2;
memset(c, 0, sizeof(c));
for (i = 2; i < M; i++)
{
c[i * 2 - 2][i * 2 - 1] = 1;
for (j = 2; j < M; j++)
{
if (adj[i][j] == '1')
{
c[i * 2 - 1][j * 2 - 2] = 1;
}
}
}
for (i = 0; i < M; i++)
{
if (adj[i][0] == '1')
c[0][i * 2 - 2] = 1;
if (adj[1][i] == '1')
c[i * 2 - 1][1] = 1;
}
return maxflow(0, 1);
}
};