3D游戏基础 空间几何（三） 变换、平面、射线

因为内容都不多，所以把变换 与平面、射线 合在一起说。
变换包含：平移、旋转和缩放。
我们可以对坐标进行所有的三种变换操作；
而对于向量，则只能做 旋转 和 缩放，因为向量不包含位置信息，所以对他做平移变化是无意义的。

每一种变换，都有对应的变换矩阵，用向量或坐标乘以变换矩阵，即可对它们完成变换。
变换矩阵之间，也可以做乘法叠加，叠加的几何意义是把变换按叠加的先后顺序复合到一个矩阵中去，注意矩阵叠加不满足交换律。
变换矩阵是一个4 x 4的矩阵，所以向量和坐标需要扩展到齐次空间中。

向量：(x, y, z, 0)
坐标：(x, y, z, 1)
他们的区别在于第四项，向量的第4项取0，可以使矩阵的平移变换失效，而不影响旋转和缩放运算。
坐标第4项取1，使平移有效，并且平移变换的比例不会被变化。如果取2，则其平移的距离则是矩阵中定义的2倍。以此类推。
注意，在变换后，有可能出现第4项非0/1 的情况，这个时候，我们必须要做一个映射动作，将它从齐次空间映射回3维空间，方法很简单：
(x, y, z, w) --> (x/w, y/w, z/w, w/w) --> (x/w, y/w, z/w, 1) --> (x/w, y/w, z/w)

具体的变换矩阵就不写出来了，很容易找到。矩阵运算，请参考《线性代数》。

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平面：
设空间中有向量 P0，则 (P - P0) 就形成了一条属于某个平面的新的向量。即定义了以(P - P0)为轴，穿过这个轴的所有平面。那么，要确定在这众多平面中某一个特定平面，则需要再确定一个垂直于这个平面的向量 （法向量） n，即有n Dot (P - P0) = 0，这样就定义出了一个平面。
其中，法线向量通常要做规范化运算。且，n 和 P0都是确定的，所以，平面可定义为：
n Dot P - n Dot P0 = 0， 令 d = - n Dot P0，则有：
n Dot P + d = 0
相关的判断：
n Dot P + d = X；
若 X<0， 点P位于平面的背面，|X| 即点P到平面的距离
若 X>0， 点P位于平面的正面，|X| 为点P到平面的距离
这两点，很容易证明，就不再详细写了。

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射线：
设起点为 P0, 方向为 u， t 为参数，t 属于 [0, 无穷大)，当t 属于(-无穷大， +无穷大）时就表示直线。
p(t) = p0 + t * u

可以再根据平面和射线的定义，推导出平面与射线相交的方程。
因为推导很简单，就不写了 :)