自适应控制

例：已知$\overset{..}=-c \overset^2+u$，设计u使$x(t)\rarr x_d(t)(t\rarr \infty)$

设$\epsilon=x-x_d$，则$\epsilon=\overset-\overset,$$\epsilon=\overset{..}-\overset{..}$

设计切换函数$s=k\overset{\epsilon}+\epsilon(k>0)$

采用指数趋近律$\overset=\lambda s$

切换函数左右两边对$t$求导，可以推导

\begin{aligned} \overset{.}{s}&=k\overset{..}{\epsilon}+\overset{.}{\epsilon}\\ &=k\overset{..}{x}-k\overset{..}{x_d}+\overset{.}{\epsilon}\\ &=k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon}\\ \end{aligned}

联立指数趋近律得到，

u=c\overset{.}{x}^2+\overset{..}{x_d}-\dfrac{\overset{.}{\epsilon}}{k}-\dfrac{\lambda}{k}s

上面这个过程是一般的滑模控制的方法，但是应用在汽车跟随问题的时候需要考虑实际因素。在建模时，$c$项与质量相关，而汽车装载质量会变化，所以用上面的控制方法存在一定的问题。下面提出了自适应控制的方法。

把$c$看成参考值，是未知量，设$\hat$是估计值，此时的指数趋近律是

u=\hat{c}\overset{.}{x}^2+\overset{..}{x_d}-\dfrac{\overset{.}{\epsilon}}{k}-\dfrac{\lambda}{k}s\tag{1}

接下来我们重点分析$\hat$的估计方法

可以看出估计误差$\widetilde=\hat-c$，假如$c$很小，则左右两边对$t$求导，近似可以得到$\overset{\widetilde}=\overset{\hat}$。

根据李雅普诺夫方法，设

V=\dfrac{s^2}{2}+\dfrac{\widetilde{c}^2}{2\gamma}

其中$\gamma>0$为调节参数。我们可以看出$V>0$，只要证明$V'<0$即可。

V'&=ss'+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\widetilde{c}}\\ &=s(k\overset{..}{\epsilon}+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\\ &=s(k(\overset{..}{x}-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\\ &=s(k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}} \end{aligned}

把自适应控制率(1)代入

V'&=s(k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\\ &=-\lambda s^2 + \dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}+ks(\hat{c}-c)\overset{.}{x}^2\\ &=-\lambda s^2 + \dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}+ks\widetilde{c}\overset{.}{x}^2 \end{aligned}

令$\dfrac{1}{\gamma}\widetilde\overset{\hat}+ks\widetilde\overset^2=0$，即

此时满足$V'=-\lambda s^2<0$。

综上分析，控制律(1)(2)即可以实现汽车质量变动下的自适应控制。