关于背包DP

今天在AKWING上学了点背包基础，简单记录一下：

首先，啥是背包问题？？？

简单举个例子，现在你是一个小偷，有一个包用来装你偷的东西，这个包的容量是有限的，假设你知道每件物品的价值和所占体积，你现在要决定要装走一些物品，使带走的物品价值最高。

这就是所谓的01背包问题，就是需要考虑权重的求最优解DP问题。

那这道题的思路是什么呢？

其实跟一般的DP相似（在不考虑优化的基础上），就是考虑当前状态的取舍来进行状态转移，（对于任意一个物品，你有两种选择，要么选（对应1），要么不选（对应0）），从而得到问题的最优解

针对DP问题，套上一般思路进行求解：

首先设定变量，一个二维数组 f[i][j] 代表只考虑 前 i 个物品，体积不超过 j 的状态的最大值（就是最大获利）

再建两个数组，v[i]和w[i]，分别表示第i个物品的体积和价值

那还有就是状态计算，像原来一样，我们还是把状态分为两部分来考虑，一是选取第 i 个物品是的最大值，因为不选第 i 个，所以也就是从前 i-1 个物品中选取呗，那就是说： f[i][j] = f[i-1][j]

第二种情况就是选第 i 个物品，那就是前面 i-1个物品的选择最大值，加上第i个物品的最大值，也就是：f[i][j] = f[i-1][j-vi] + w[i]

还有就是初始化，f[0][i]=0，也就可以省略了

还可以改成一维数组：（滚动数组）

如果只用到了 i 和 i-1，那就可直接改成一维的

完全背包问题：

与01背包相似，区别就在于01背包每件物品最多只能选一次，而完全背包问题中的每个物品都有无数件

状态表示：依旧是所有只考虑前 i 个物品，且总体积不大于 j 的所有选法

状态计算：将其分为若干组，第i个物品选0个，选1个，选2个。。。选k个

选0个：f[i][j]=f[i][j-1]

其他的：1.去掉n个物品i

2求max,3.再加回来n个物品i的值。

即：f[i,j]=f[i-1,j-v[i]*n]+w[i]*n

f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-v[i]*1]+w[i]*1,f[i-1,j-v[i]*2]+w[i]*2,f[i-1,j-v[i]*3]+w[i]*3+......+f[i-1,j-v[i]*n]+w[i]*n)

f[i,j-v[i]]=max(f[i-1,j-v[i]*1]+w[i]*1,f[i-1,j-v[i]*2]+w[i]*2,f[i-1,j-v[i]*3]+w[i]*3+......+f[i-1,j-v[i]*n]+w[i]*n)

所以：f[i,j]=max(f[i-1,j] , f[i-1,j-v[i]]+w[i] ]，直接少了一层枚举n的循环。

多重背包问题：（有有限数量的件数）

状态表示与原来一样

状态计算也与完全背包差不多：（设s[i]为第i个物品的数量）

f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-v[i]*1]+w[i]*1,f[i-1,j-v[i]*2]+w[i]*2,f[i-1,j-v[i]*3]+w[i]*3+......+f[i-1,j-v[i]*s[i]]+w[i]*s[i])

f[i,j-v[i]]=max(f[i-1,j-v[i]*1]+w[i]*1,f[i-1,j-v[i]*2]+w[i]*2,f[i-1,j-v[i]*3]+w[i]*3+......+f[i-1,j-v[i]*(s[i]+1)]+w[i]*(s[i]+1))

多了一项s[i]+1，无法和完全背包使用一样的优化方法

转换方法：二进制转换

比如说有1023个物品i

将其划分为若干组：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512

再比如有200个物品i

将其划分成1，2，4，8，32，64，73

此时从0到s[i]之间任意的数都能用他们相加表示出来：

分组背包问题：

有若干组，每组里有若干件物品，要求每组最多选一个，使得价值最大且不超过背包限制

状态表示：只从前i组物品中选，且总体积不大于j的所有选法最大值