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论文标题：Deeper Insights into Graph Convolutional Networks for Semi-Supervised Learning
论文作者：Qimai Li, Zhichao Han, Xiao-Ming Wu
论文来源：2018, AAAI
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1 Introduction

　　贡献：

• [li]证明了GCN 是拉普拉斯平滑的一种形式；
• 从 co-taining 和 self-training 方法解决 GCN 层数多性能下降的问题；

[/li]

　　平滑有助于简化分类任务，但是如果一个GCN很深，有许多卷积层，那么输出特征可能会被过度平滑，即来自不同簇的顶点可能会变得难以区分。这种情况在只有少数卷积层的小数据集上很快发生，如 Fig. 2 所示

　　

　　然而浅层 GCN 任然存在问题：即它需要许多额外的标签来进行验证，此外还遭受卷积核的局部特性的问题。

　　当只给出少量标签时，浅层GCN不能有效地将标签传播到整个数据图。如图1所示，随着训练规模的缩小，GCN 的性能迅速下降，即使是那些有 500 个额外标签进行验证的也是如此。

　　

　　为了解决GCN存在的问题，本文提出：

• [li]co-training：一个基于随机游走的模型，可以对GCN补充全局信息；
• self-training：通过对GCN的自训练，我们可以利用其特征提取能力来克服其局部性；

[/li]

　　结合联合训练和自我训练方法可以大大改进标签很少的半监督学习的GCN模型，并免除其需要额外的标记数据进行验证。如 Fig. 1 所示，我们的方法的性能大大优于gcn。

2 Review

　　GCN 的传播过程：

　　　　$H^{(l+1)}=\sigma\left(\tilde{D}^{-\frac{1}{2}} \tilde{A} \tilde{D}^{-\frac{1}{2}} H^{(l)} \Theta^{(l)}\right) \quad\quad\quad(4)$

　　半监督节点分类：

　　　　$Z=\operatorname{softmax}\left(\hat{A} \operatorname{Re} L U\left(\hat{A} X \Theta^{(0)}\right) \Theta^{(1)}\right) \quad\quad\quad(5)$

　　对应的损失函数：

　　　　$\mathcal{L}:=-\sum_{i \in \mathcal{V}_{l}} \sum_{f=1}^{F} Y_{i f} \ln Z_{i f} \quad\quad\quad(6)$

　　其中

• [li]$F$ 代表着输出特征的维度；
• $Y \in R^{\left|\mathcal{V}_{l}\right| \times F}$ 是标签矩阵；

[/li]

3 Analysis

3.1 Why GCNs Work

　　对比于全连接网络：

　　　　$H^{(l+1)}=\sigma\left(H^{(l)} \Theta^{(l)}\right) \quad\quad\quad(7)$

　　和 GCN 唯一不同的点在于少乘 $\hat{A}=\tilde{D}^{-\frac{1}{2}} \tilde{A} \tilde{D}^{-\frac{1}{2}}$ （ $\text{Eq.5}$ ）。与 GCN 在 Cora 数据集上的节点分类对比如 Table 1 所示：

　　

　　从上述发现，1 层 GCN 显著好于 1 层的 FCN。 

　　考虑一个从 $ X $ 获得的新特征矩阵 $Y$：

　　　　$Y=\tilde{D}^{-1 / 2} \tilde{A} \tilde{D}^{-1 / 2} X  \quad\quad\quad(8)$

　　将这个新的特征矩阵放入全连接网络，可以发现有显著提升。

Laplacian Smoothing

　　拉普拉斯平滑方程：

　　　　$\hat{\mathbf{y}}_{i}=(1-\gamma) \mathbf{x}_{i}+\gamma \sum_{j} \frac{\tilde{a}_{i j}}{d_{i}} \mathbf{x}_{j} \quad(\text { for } 1 \leq i \leq n)   \quad\quad\quad(9)$

　　其中：

• [li]$\tilde{A}=A+I$；
• $0<\gamma \leq 1$ 是控制当前节点和其他节点特征的权重参数；

[/li]

　　重写上述 $\text{Eq.9}$ 得到：

　　　　$\hat{Y}=X-\gamma \tilde{D}^{-1} \tilde{L} X=\left(I-\gamma \tilde{D}^{-1} \tilde{L}\right) X \quad\quad\quad(10)$

 　　其中，$\tilde{L}=\tilde{D}-\tilde{A}$ 。

　　当设置 $\gamma=1$ 时，可以得到 $\hat{Y}=\tilde{D}^{-1} \tilde{A} X $ ，此时只考虑了邻居信息。

　　设置 $\gamma=1$，并将对称标准化拉普拉斯 $\tilde{D}^{-\frac{1}{2}} \tilde{L} \tilde{D}^{-\frac{1}{2}}$ 替换为标准化拉普拉斯矩阵 $\tilde{D}^{-1} \tilde{L}$，可得$\hat{Y}=\tilde{D}^{-1 / 2} \tilde{A} \tilde{D}^{-1 / 2} X$ ，显然这正是$\text{Eq.8}$ 中的图卷积 。可以将其称之为 Laplacian smoothing 或者 symmetric Laplacian smoothing ，请注意，这里的平滑仍然包括当前顶点的特征，因为每个顶点都有一个自循环，并且是它自己的邻居。

　　拉普拉斯平滑法计算出一个顶点的新特征作为其自身及其邻居的加权平均值。由于同一簇中的顶点往往是紧密连接的，平滑使得它们的特征相似，这使得后续的分类任务更加容易。从 Table 1 中可以看出，只应用一次平滑已经带来了巨大的性能提高。

Multi-layer Structure

　　从 Table 1 中我们还可以看出，虽然 2 层FCN仅比 1 层FCN略有改善，但 2 层GCN比 1 层GCN有很大的提高。这是因为对第一层的激活再次应用平滑会使同一集群中的顶点的输出特征更加相似，并进一步简化了分类任务。

3.2 When GCNs Fail

　　下面，将证明通过多次重复应用拉普拉斯平滑，图中每个连通分量内的顶点的特征将收敛到相同的值。对于对称拉普拉斯平滑的情况，它们将收敛到与顶点度的平方根成正比。

　　假设一个图 $G$ 有 $k$ 个连通分量 $\mathcal{G}$，并且第 $i$ 个分量的指示向量用 $\left\{C_{i}\right\}_{i=1}^{k}$ 表示。该向量表示一个顶点是否在分量 $C_{i}$ 中，即：

　　　　$\mathbf{1}_{j}^{(i)}=\left\{\begin{array}{l}1, v_{j} \in C_{i} \\0, v_{j} \notin C_{i}\end{array}\right.  \quad\quad\quad(11)$

　　Theorem 1. If a graph has no bipartite components, then for any  $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ , and  $\alpha \in(0,1]$ ,

　　　　$\begin{array}{l}\underset{m \rightarrow+\infty}{\text{lim}}  \left(I-\alpha L_{r w}\right)^{m} \mathbf{w}=\left[\mathbf{1}^{(1)}, \mathbf{1}^{(2)}, \ldots, \mathbf{1}^{(k)}\right] \theta_{1} \\\underset{m \rightarrow+\infty}{\text{lim}}\left(I-\alpha L_{s y m}\right)^{m} \mathbf{w}=D^{-\frac{1}{2}}\left[\mathbf{1}^{(1)}, \mathbf{1}^{(2)}, \ldots, \mathbf{1}^{(k)}\right] \theta_{2}\end{array}$

　　其中，$\theta_{1} \in \mathbb{R}^{k}$，$\theta_{2} \in \mathbb{R}^{k}$。并且分别收敛于 $\left\{\mathbf{1}^{(i)}\right\}_{i=1}^{k}$ 和 $ \left\{D^{-\frac{1}{2}} \mathbf{1}^{(i)}\right\}_{i=1}^{k} $ 的线性组合。

　　注意，由于每个顶点都添加了一个额外的自循环，所以图中没有二部分量。基于上述定理，过度平滑会使特征难以区分，损害分类精度。

　　如 Fig. 1 所示，随着训练规模的缩小，GCNs的性能（有无验证）迅速下降。事实上，GCN 的准确性下降的速度比标签传播的准确性要快得多。由于标签传播只使用图信息，而GCNs同时使用结构和顶点特征，这反映了GCN模型在探索全局图结构方面的无能力。

　　GCN 模型的另一个问题是，它需要一个额外的验证集来进行训练中的早期停止，这本质上是使用验证集上的预测精度来进行模型选择。如果我们在不使用验证集的情况下对训练数据进行优化 GCN，它的性能将会显著下降。如 Fig. 1  所示，没有验证的 GCN 的性能比有验证的 GCN 下降得明显得多。在 GCN 中，作者使用了一组额外的 500 个标记数据进行验证，这远远超过了训练数据的总数。这当然是不可取的，因为它违背了半监督学习的目的。此外，它使得 GCN 与其他方法的比较不公平，因为其他方法，如标签传播，可能根本不需要验证数据。

4 Solutions

　　GCN 的优点：

• [li]图卷积-拉普拉斯平滑有助于使分类问题更加容易；
• 多层神经网络是一个强大的特征提取器；

[/li]

　　GCN 的缺点：

• [li]图卷积是一种局部滤波器，在标记数据很少的情况下性能不佳；
• 神经网络需要大量的标记数据来进行验证和模型选择；

[/li]

4.1 Co-Train a GCN with a Random Walk Model

　　我们建议将GCN与随机游走模型共同训练，因为后者可以探索全局图结构，这是对GCN模型的补充。

　　特别地，我们首先使用随机游走模型来找到最自信的顶点——每个类的标记顶点的最近邻居，然后将它们添加到标签集中来训练 GCN。与 GCN 不同，我们直接优化了训练集上的 GCN 参数，而不需要额外的标记数据进行验证。

　　我们选择使用 partially absorbing random walks  (ParWalks) 作为我们的随机游动模型。ParWalks在每个状态都由部分吸收的二阶马尔科夫链。Algorithm 1 描述了使用 ParWalks 扩展标签集。

　　

　　即：

• [li]首先，先计算归一化吸收概率矩阵（normalized absorption probability matrix）$P=(L+\alpha \Lambda)^{-1} $ （$\Lambda$ 的选择可能取决于数据），$P_{i, j}$ 是从顶点 $i$ 随机游走被顶点 $j$ 吸收的概率，它表示 $i$ 和 $j$ 属于同一类的可能性；
• 其次，需要测量属于类 $k$ 的一个顶点的置信度。将标记的顶点划分为 $\mathcal{S}_{1}, \mathcal{S}_{2}, \ldots$，其中 $\mathcal{S}_{k}$ 表示 $k$ 类的标记数据集。对于每个类 $k$，我们计算一个置信向量 $\mathbf{p}=\sum_{j \in \mathcal{S}_{k}} P_{:, j}$，其中 $\mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n} $ 和 $p_{i}$ 是属于类 $k$ 的顶点 $i$ 的置信度。最后，找到 $t$ 个最自信的顶点，并将它们添加到带有标签 $k$ 的训练集中，以训练一个 GCN ；

[/li]

4.2 GCN Self-Training

　　另一种让一个GCN“看到”更多的训练示例的方法是自我训练一个GCN。我们首先用给定的标签训练一个GCN，然后通过比较softmax分数来为每个类选择最自信的预测，并将它们添加到标签集中。然后，我们继续使用扩展的标签集来训练GCN，并使用预先训练好的GCN作为初始化。这在 Algorithm 2 中有描述。

　　 

　　GCN发现的最自信的实例应该与被标记的数据共享相似（但不相同）的特性。将它们添加到标记集将有助于训练一个更鲁棒和更准确的分类器。此外，在一个图有许多孤立的小分量，并且不可能用随机游动传播标签的情况下，它补充了 co-training 方法。

Combine Co-Training and Self-Training

　　为了提高标签的多样性和训练一个更鲁棒的分类器，我们建议将 co-training 和 self-learning 相结合。具体来说，我们用随机游走和GCN本身发现的最自信的预测来扩展标签集，然后使用扩展的标签集来继续训练GCN。我们称这种方法为“Union”。为了找到更准确的标签添加到标签集，我们还建议添加由随机游走和GCN中发现的最自信的预测。我们称这种方法为“Intersection”。

　　注意，我们优化扩展标签集上优化所有方法，而不需要任何额外的验证数据。只要扩展的标签集包含足够正确的标签，我们的方法就有望训练出一个好的GCN分类器。但是训练一个GCN需要多少标记数据呢？假设GCN的层数为 $\tau$，底层图的平均度为 $\hat{d}$。我们提出通过求解 $(\hat{d})^{\tau} * \eta \approx n$ 来估计 $\eta=\left|\mathcal{V}_{l}\right| $ 标签数量的下界。这背后的基本原理是估计一个带有 $ \tau$ 层的 GCN 需要多少个标签来传播它们以覆盖整个图。

5 Experiments

数据集

　　

节点分类

　　

　　

6 Conclusions

　　理解深度神经网络对于实现其在实际应用中的全部潜力至关重要。本文有助于理解GCN模型及其在半监督分类中的应用。我们的分析不仅揭示了GCN模型的机制和局限性，而且还导致了克服其局限性的新的解决方案。在未来的工作中，我们计划开发与深度架构兼容的新的卷积滤波器，并利用先进的深度学习技术来提高gcn的性能，用于更多的基于图的应用程序。

 

7 相关理论证明

证明 Theorem 1：

　　Proof.  $L_{r w}$  and  $L_{s y m}$  have the same  $n$  eigenvalues (by multiplicity) with different eigenvectors . If a graph has no bipartite components, the eigenvalues all fall in  $\left[0,2\right.  )$. The eigenspaces of  $L_{r w}$  and  $L_{s y m}$  corresponding to eigenvalue $0$ are spanned by  $\left\{\mathbf{1}^{(i)}\right\}_{i=1}^{k}$  and  $\left\{D^{-\frac{1}{2}} \mathbf{1}^{(i)}\right\}_{i=1}^{k}$  respectively. For  $\alpha \in(0,1]$ , the eigenvalues of  $\left(I-\alpha L_{r w}\right)$  and  $\left(I-\alpha L_{s y m}\right)$  all fall into  $(-1,1]$ , and the eigenspaces of eigenvalue $1$ are spanned by  $\left\{\mathbf{1}^{(i)}\right\}_{i=1}^{k}$  and  $\left\{D^{-\frac{1}{2}} \mathbf{1}^{(i)}\right\}_{i=1}^{k}$  respectively. Since the absolute value of all eigenvalues of  $\left(I-\alpha L_{r w}\right)$  and  $\left(I-\alpha L_{s y m}\right)$  are less than or equal to $1$ , after repeatedly multiplying them from the left, the result will converge to the linear combination of eigenvectors of eigenvalue $1$ , i.e. the linear combination of  $\left\{\mathbf{1}^{(i)}\right\}_{i=1}^{k}$  and  $\left\{D^{-\frac{1}{2}} \mathbf{1}^{(i)}\right\}_{i=1}^{k}$  respectively.