算法竞赛——树和图的存储与遍历
一、树与图的存储方式
树(无环连通图)、图的存储:
有向图:
a ---> b 无向图:
a ---> b,b ---> a无向图可以看作是特殊的有向图!
1.邻接矩阵
稠密图一般使用邻接矩阵存储,空间复杂度达到(n * n)
存储方式:
g[b][b]存储a ---> b的信息,如果有权值c则g[b][b] = c;如果没有权值则为bool,表示是否连通注:邻接矩阵不能存储重边,一般只保留一条(最短的:如朴素dijkstra算法和prim算法)
2.邻接表
邻接表适用于存储稀疏图,是一种最常用的图存储方式:对于每一个节点,都开一个单链表(类似拉链法)存储该节点可以访问到的点,存储次序无关紧要。
插入边:
初始化链表:
memset(h, -1, sizeof h);
插入操作:
不带权值:
//邻接表 int h , e[M], ne[M], idx;// M = 2 * N //插入边a ---> b void add(int a, int b) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; }
带权值:
int h , w , e , ne , idx; void add(int a, int b, int c) // 添加一条边a->b,边权为c { e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a]. h[a] = idx ++; }
二、树与图的遍历方式
1.深度优先遍历
(1)图的深度优先遍历框架模板:
//u为节点编号 void dfs(int u){ st[u]=true; // 标记一下,记录为已经被搜索过了 // 遍历u的邻接点 for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]) { int j=e[i];//拿到出边的对应的节点编号 if(!st[j])//如果未被访问过,继续深搜 { dfs(j); } } }
(2)例题:树的重心
【参考代码】
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N; int n; int h , e[M], ne[M], idx; int ans = N; bool st ; void add(int a, int b) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx, idx ++; } //返回以u为根节点的子树中节点的个数,包括u节点 int dfs(int u) { st[u] = true;// 标记一下,已经搜索过 //size是表示将u点去除后,剩下的子树中数量的最大值; //sum表示以u为根的子树的点的多少,初值为1,因为已经有了u这个点 int size = 0, sum = 1; for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i];//拿到出边的对应的节点编号 if(!st[j]) { int s = dfs(j); // 当前子树的大小(//s是以j为根节点的子树中点的数量) size = max(size, s);// 取子树种节点数较大者 sum += s; } } //n-sum表示的是减掉u为根的子树,整个树剩下的点的数量 size = max(size, n - sum); ans = min(ans, res); return sum; } int main() { cin >> n; //初始化链表 memset(h, -1, sizeof h); for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ) { int a, b; scanf("%d%d", &a, &b); add(a, b), add(b, a);//无向图 } //从第一个节点开始搜索 dfs(1); printf("%d\n", ans); return 0; }
2.广度优先遍历
图宽搜的框架和前面BFS的框架基本一模一样,只是将图的结构扩展到宽搜框架里。前面的BFS是根据具体题目来扩展点,图的话采用邻接表存储图,从
1号节点编号开始,扩展的是每一个点的临边。
(1)图的广度优先遍历框架模板:
1. queue <---- 1号点 2. while(队列不为空) { t <---队头 弹出队头 扩展队头元素(扩展t的所有邻接点j) { 获取邻接点(编号)j if(j未遍历,符合条件)// 第一次遍历才是最短路径 { queue <----- j入队// (邻接节点) 更新距离 //d[x] = d[t]++ } } } 3. 最后队为空,结束
(2)例题:图中点的层次
给定一个 n 个点 mm条边的有向图,图中可能存在重边和自环。
所有边的长度都是 1,点的编号为 1∼n。
请你求出 1号点到 n 号点的最短距离,如果从 1 号点无法走到 n 号点,输出 −1。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行,每行包含两个整数 a 和 b,表示存在一条从 a 走到 b 的长度为 1 的边。
输出格式
输出一个整数,表示 1 号点到 n 号点的最短距离。
数据范围
1≤n,m≤105
输入样例:
4 5 1 2 2 3 3 4 1 3 1 4输出样例:
1
【参考代码】
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; int h , e , ne , idx; int d ;//存储点到起点的距离 int n, m; void add(int a, int b) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; } int bfs() { //初始化距离,且起用于判断是否访问过 memset(d, -1, sizeof d); //1.一号节点(编号)入队,设置距离 queue<int>q; q.push(1); d[1] = 0; //2.队列不为空 while(q.size()) { //2.1拿到队头节点,队头出队 auto t = q.front(); q.pop(); //2.2扩展队头元素(t的所有邻接节点) for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i];//得到邻接节点j if(d[j] == -1)//如果j节点没有被访问过 { q.push(j);//入队 d[j] = d[t] + 1;//更新距离 } } } //3.返回结果 return d ; } int main() { cin >> n >> m; //初始化链表 memset(h, -1, sizeof h); while (m -- ) { int a, b; cin >> a >> b; add(a, b); } cout << bfs(); return 0; }
(3)图广搜的应用——拓扑排序
基本介绍:
拓扑序列:在一个有向图无环中,对所有的节点进行排序,要求没有一个节点指向它前面的节点。即,所有的边从前指向后!
注:无向图没有拓扑序列
**入度:**一个点有多少条进来(指向自己)的边
**出度:**一个点有多少条出去(指向其它点)的边
重要结论性质:一个有向无环图至少存在一个入度为0的节点!
求解步骤:
(1)先统计好图中所有点的
入度情况
(2)找到图中
入度为0的节点,将它删去,由它发射出来的所有边也要删掉,即它指向的邻接节点
度数-1
(3)将删去节点后剩下的图,继续按
(2)的规则继续删节点。
按照节点被删除的顺序,依次把这些被删除的节点记录要一个序列里边,当图中所有节点被删除后,那么这个序列就是一个拓扑序列了!
注:当同时出现两个或以上入度为0的节点时,拓扑序列结果不唯一!
基本BFS框架:
bool topsort() { 1. queue <---- 所有度为0的点 2. while queue不为空 { t <---- 队头 弹出队头 枚举t所有的出边 t ---> j { 删掉出边 t ---> j: d[j] --;// 入度-1 if(d[j] == 0)// 当节点j入度为0时,入队 queue <---- j } } 如果有n - 1个节点入队的话,说明是拓扑序列返回true,否则不是返回false }
例题:
给定一个 n 个点 m 条边的有向图,点的编号是 1 到 n,图中可能存在重边和自环。
请输出任意一个该有向图的拓扑序列,如果拓扑序列不存在,则输出 −1。
若一个由图中所有点构成的序列 AA 满足:对于图中的每条边 (x,y),x 在 A 中都出现在 y 之前,则称 A 是该图的一个拓扑序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 mm 行,每行包含两个整数 x 和 y,表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边 (x,y)。
输出格式
共一行,如果存在拓扑序列,则输出任意一个合法的拓扑序列即可。
否则输出 −1。
数据范围
1≤n,m≤105
输入样例:
3 3 1 2 2 3 1 3输出样例:
1 2 3
【参考代码】
数组模拟队列:
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; int h
, e
, ne
, idx; int d
;//统计节点入度情况 int q
;//队列 int n, m; void add(int a, int b) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++; } bool topsort() { int hh = 0, tt = -1; //1. for (int i = 1; i <= n; i ++ )// 将所有入度为0的点入队 if(d[i] == 0) q[++ tt] = i; //2. while(hh <= tt) { int t = q[hh ++];// 获取队头元素的同时,也就弹出了队头元素! //删掉t的所有出边 for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; d[j] --; if(d[j] == 0) q[++ tt] = j;//当节点j入度为0时,入队 } } return tt==n-1; //表示如果n个点都入队了话,那么该图为拓扑图,返回true,否则返回false } int main() { cin >> n >> m; memset(h, -1, sizeof h); while (m -- ) { int a, b; cin >> a >> b; add(a, b); d[b] ++;//因为是a指向b,所以b点的入度要加1} if(topsort()) { for (int i = 0; i < n; i ++ ) cout << q[i] << " "; //经上方循环可以发现队列中的点的次序就是拓扑序列 //注:拓扑序列的答案并不唯一 puts(""); } else puts("-1"); return 0; }
STL:queue,开一个top
数组来记录拓扑序列!
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; int h
, e
, ne
, idx; int d
;//统计节点入度情况 int top
;//记录拓扑序列 int n, m, cnt; void add(int a, int b) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++; } bool topsort() { queue<int>q; for (int i = 1; i <= n; i ++ )// 将所有入度为0的点入队 if(d[i] == 0) q.push(i); //2. while(q.size()) { int t = q.front(); top[cnt ++] = t;//加入到 拓扑序列中 q.pop(); //删掉t的所有出边 for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; d[j] --; if(d[j] == 0) q.push(j);//当节点j入度为0时,入队 } } return cnt == n; //表示如果n个点都入队了话,那么该图为拓扑图,返回true,否则返回false } int main() { cin >> n >> m; memset(h, -1, sizeof h); while (m -- ) { int a, b; cin >> a >> b; add(a, b); d[b] ++;//因为是a指向b,所以b点的入度要加1} if(topsort()) { for (int i = 0; i < n; i ++ ) cout << top[i] << " "; //经上方循环可以发现队列中的点的次序就是拓扑序列 //注:拓扑序列的答案并不唯一 puts(""); } else puts("-1"); return 0; }
三、总结
在理解思路的基础上,学习总结代码!
学习内容源自:
acwing算法基础课
注:如果文章有任何错误或不足,请各位大佬尽情指出,评论留言留下您宝贵的建议!如果这篇文章对你有些许帮助,希望可爱亲切的您点个赞推荐一手,非常感谢啦
- 数据结构与算法简记:按层次顺序遍历和存储二叉树
- 存储过程-树型结构遍历算法
- 用二叉链表存储的二叉树进行先序、中序和后序遍历的算法
- 算法竞赛入门经典 第六章层次遍历
- LeetCode——中级算法——树和图——二叉树的锯齿形层序遍历(JavaScript)
- 图算法专题(一)【定义、存储和遍历】
- Java数据结构和算法:234树和外部存储
- 一个连通图,采用邻接表作为存储结构,设计一个算法从顶点v出发的深度优化遍历的非递归过程
- 数据结构-二叉树的存储结构和遍历算法(四)
- 数据结构 二叉树存储和遍历伪算法
- 图(邻接矩阵存储)的广度优先遍历算法
- collections 接口存储一组不唯一,无序的对象。提供了对集合进行排序,遍历等对种算法的实现
- Java数据结构与算法(图的存储,图的遍历(DFS,BFS))
- 数据结构与算法6:二叉树的存储结构与遍历
- 算法竞赛入门经典6.3.2层次遍历
- (1)建立二叉树的二叉链表。 (2)写出对用二叉链表存储的二叉树进行先序、中序和后序遍历的递归和非递归算法。 (3)写出对用二叉链表存储的二叉树进行层次遍历算法。 (4)求二叉树的所有叶子及结点总数。
- 实现由双亲节点存储的树转化为二叉树的遍历算法实现
- 一个连通图,采用邻接表作为存储结构,设计一个算法从顶点v出发的深度优化遍历的非递归过程
- 数据结构链表创建,遍历,是否为空,求长度,插入,删除算法的演示
- 算法之递推及其应用(递推关系的建立及在信息学竞赛中的应用 安徽 高寒蕊)