剑指 Offer 14- I. 剪绳子

剑指 Offer 14- I. 剪绳子

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]k[1]...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

• 2 <= n <= 58

一、动态规划

首先使用动态规划解决问题，最重要的就是理解dp数组的含义。 此处的dp[i] 表示长度为i的绳子剪成m段后的最大乘积。初始化dp[2] = 1 表示如果一个绳子长度为2必然只能分成两段长度为1的绳子，两者的乘积为1。

1. 然后尝试对绳子进行分割，如果只剪掉长度为1，对最后的乘积无任何增益，所以从长度为2开始剪，代码中的j就是表示尝试剪的长度。
2. 剪下一段后，剩余部分可以剪也可以不剪。如果不剪则得到的长度乘积为

   j * (i - j)

   。如果剪得到的长度为

   j * dp[i - j]

   两者取最大值
3. 不断修改剪的长度j （j范围为[2, i -1]）。从所有结果中找到最大值即为dp[i]的结果。
4. 从而有状态转移方程

   dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))

class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
// dp[i]表示长度为i的绳子被剪成m段，每段乘机的最大值
int[] dp = new int[n+1];
// 因为m>1，所以dp[2] = 1而不是2
dp[2] = 1;
// i表示绳子长度
for (int i=3;i<=n;++i){
// i-j >= 2。j代表第一次剪掉的长度，剪掉1没用，所以从2开始，剩余的长度i-j怎么减直接取dp[i-j]
for (int j=1;j<=i-2;++j){
// 这里因为m>1，所以dp[2] = 1而不是2，dp[3]不能是dp[2] * 1，这样答案是1，错误.
// 因此下面要添加Math.max(dp[i-j], i-j)。
dp[i] = Math.max(Math.max(dp[i-j], i-j) * j, dp[i]);
}
}
return dp
;
}
}

二、贪心算法

这个做题思路直接引用K神吧，直接给跪了。

算法流程：

1. 当 n ≤3 时，按照规则应不切分，但由于题目要求必须剪成 m>1 段，因此必须剪出一段长度为 11 的绳子，即返回 n - 1。
2. 当 n>3时，求 nn 除以 33 的 整数部分 aa 和 余数部分 bb （即 n = 3a + b ），并分为以下三种情况： 当 b = 0 时，直接返回 3^a ；
3. 当 b = 1时，要将一个 1 + 3转换为 2+2，因此返回 3^ ×4；
4. 当 b = 2时，返回 3^a × 2。

class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
if(n <= 3) return n - 1;
int a = n / 3, b = n % 3;
if(b == 0) return (int)Math.pow(3, a);
if(b == 1) return (int)Math.pow(3, a - 1) * 4;
return (int)Math.pow(3, a) * 2;
}
}

其实K神还有更详细的求导过程和推论过程，建议点参考链接详细再看看。

参考链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/solution/mian-shi-ti-14-i-jian-sheng-zi-tan-xin-si-xiang-by/