字节算法面试题

大家好，今天我们来聊一聊股票交易问题。

​ Tips:炒股投资的朋友可以直接走了，这是程序员的笔试面试题，不是真正的去探讨炒股哦！不过这两天港股涨的不错...

​ 前几天群里的小伙伴参加字节面试，遇到了股票交易这么一道题。今天我们就来分析一下。同时也给即将要参加校招的朋友们提供准备，这是字节腾讯等大厂校招时常考的题目。

问题描述：

给定一个数组prices,它的第i个元素 prices[i]表示一支给定股票第i天的价格。你只能选择某一天买入这只股票，并选择在未来的某一个不同的日子卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0。

分析问题：

​ 拿到这个问题，我们就需要先思考用什么样的思想去解决。我们来看这个题目，这个问题是求最优解问题。初看题目，我们最容易想到的方法，就是暴力求解，即遍历数组，求出最大值和最小值，相减就是最大利润。不过这里有一个隐含条件，就是股票的卖出时机必须大于股票的买入时机。

def maxProfit(prices):
#最大利润
ans = 0
#股票卖出时机要大于股票买入时机
for i in range(len(prices)):
for j in range(i + 1, len(prices)):
ans = max(ans, prices[j] - prices[i])
return ans

prices=[7, 1, 5, 3, 6, 4]
maxProfit(prices)

​ 我们可以看出，这种求解的方法，时间复杂度是O(n^2)，那有没有时间复杂度更优的方法呢？

​ 首先，我们来分析一下这个问题符合什么“问题模型”呢？我们从0开始走，走到n-1，一共需要走n-1步，也就对应着n-1个阶段。每个阶段都只能往右走，并且每个阶段都会对应一个状态集合，我们把状态定义为maxprofit[i]，其中i表示走到哪一步，maxprofit[i]的值表示从开始走到位置i的最大利润是多少。所以这个问题是“多阶段决策最优”问题，对于这类问题，我们首先要考虑能否用动态规划的思想来解决，也就是看是否符合动态规划的特征：重复子问题、无后效性、最优子结构。

1. 无后效性：我们要想计算maxprofit[i]这个状态，只需要关心maxprofit[i-1]的状态，并不关心maxprofit[i-1]这个状态是如何生成的。而且，我们只能往后移动，不允许后退。所以，前面阶段的状态确定之后，不会被后面阶段的决策所改变。所以符合"无后效性"。

2. 重复子问题：如果要达到maxprofit[i]这个状态，我们可以有不同的决策序列。比如假设第五天，我们的最大利润是8，即maxprofit[i]的状态为8，我们可以是第一天买入2，第三天卖出10。也可以第二天买入2，第三天卖出10。

3. 最优子结构：因为maxprofit[i]可以通过maxprofit[i-1]推导出来，即符合“最优子结构”

   maxprofit[i]=max(maxprofit[i-1],prices[i]-minprice)

   下面我们看代码如何实现：

def maxProfit(prices):
n=len(prices)
if n==0:
return 0
maxPRofit=[0]*n
minprice=prices[0]

for i in range(1,n):
minprice = min(minprice, prices[i])
maxPRofit[i]=max(maxPRofit[i-1],prices[i]-minprice)

return maxPRofit[-1]

prices=[7, 1, 5, 3, 6, 4]
print(maxProfit(prices))

​ 我们可以看出，这种求解的时间复杂度为O(n)。

###扩展：

​ 我们再把问题复杂一点，假如我们可以进行多次交易一支股票。

给定一个数组 prices，其中 prices[i] 是一支给定股票第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

​ 这个问题的解题思路和上题类似，也是“多阶段决策最优”问题。也符合动态规划解题模型。不过这里的“状态”会有所区别，我们来看一下。

​ 考虑到“不能同时参与多笔交易”。所以，每天交易结束后手里只可能存在有股票和没有股票两种状态。所以，我们可以用二个数组来表示，其中dp1[i]表示第i天交易后，手里没有股票的最大利润。dp2[i]表示第i天交易完成后，手里有股票的最大利润。

​ dp1[i]表示第i天手里没有股票的最大利润，那么这个状态要么是由dp1[i-1]，即前一天手里没有股票的最大利润，转移过来。要么由dp2[i-1]+prices[i]，即前一天手里有股票，今天把这个股票卖出。所以dp1[i]的状态转移方程为：

dp1[i]=max(dp1[i-1],dp2[i-1]+prices[i])

​ dp2[i]表示第i天手里有股票的最大利润，那么这个状态要么是由dp2[i-1]，即前一天手里有股票的最大利润，转移过来。要么由dp1[i-1]-prices[i]，即前一天手里没有股票，今天把这个股票进行买入。所以dp2[i]的状态转移方程为：

dp2[i]=max(dp2[i-1],dp1[i-1]-prices[i])

​ 所以我们代码实现如下所示：

def maxProfit(prices):
n=len(prices)
if n==0:
return 0
dp1=[0]*n
dp2=[0]*n
#手里没有股票
dp1[0]=0
#手里有股票
dp2[0]=-prices[0]
for i in range(1,n):
dp1[i]=max(dp1[i-1],dp2[i-1]+prices[i])dp2[i]=max(dp2[i-1],dp1[i-1]-prices[i])
return dp1[n-1]

prices=[7, 1, 5, 3, 6, 4]
print(maxProfit(prices))

​ 我们再来把题目升级一下，即我们限制股票买卖的次数，比如我们只能交易两次。

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

​ 这个题目和上个题相比，状态又发生了变化，这里因为限制了交易次数，所以我们需要把交易次数的状态也保存起来。所以每天交易结束后，有5种状态。

1. 未进行过任何操作。

2. 只进行过一次买入操作。

3. 进行过一次买入和卖出操作。

4. 完成一笔的交易前提下，进行了第二次买入操作。

5. 完成两笔交易。

   由于第一个状态的利润为0，所以我们不需要记录。我们把剩下的4个状态分别用buy1,sell1,buy2,sell2来表示。下面我们来看一下如何根据前一天的状态，来通过转移方程生成今天的4个状态。

​ 对于buy1而言，我们可以今天不操作，直接通过昨天的buy′ 1转移过来，或者我们从未进行过任何操作前提下，今天买入股票。

​ buy1 =max(buy′ 1,-prices[i])

​ 对于sell1而言，我们今天可以不做任何操作，直接通过昨天的sell′ 1转移过来，或者我们可以在只进行过一次买入交易的前提下，今天把股票卖出。

​ sell1=max(sell′ 1,buy′ 1+prices[i]）

​ 对于buy2而言，我们今天可以不做任何操作，直接通过昨天的buy′ 2转移过来，或者，我们在进行过一笔完成的交易条件下，今天再把该股票买入。

​ buy2=max(buy′ 2,sell′ 1-prices[i]）

​ 对于sell2而言，我们今天可以不做任何操作，直接通过昨天的sell′ 2 转移过来，或者，我们在buy2的前提下，今天把股票卖出。即

​ sell2=max(sell′ 2,buy′ 2+prices[i]）

Tips:我们在计算sell1时，我们可以直接使用buy1而不是buy′ 1进行转移。buy1比buy′ 1多考虑的是在第i天买入股票的情况，而转移到sell1时，考虑的是在第i天卖出股票的情况，这样在同一天买入并且卖出股票的收益为0，不会对结果产生影响。对于buy2和sell2也是同样的考虑，我们可以直接用第i天求出的值来进行转移。

我们来看代码实现： ``` def maxProfit(prices): n = len(prices) #表示以prices[0]买入股票 buy1=-prices[0] #表示在同一天买入并且卖出，即为0 sell1=0 #表示同一天买入卖出后再以prices[0]的价格买入 buy2=-prices[0] #表示同一天买入卖出两次，即为0 sell2 = 0 for i in range(1, n): buy1 = max(buy1, -prices[i]) sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i]) buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i]) sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i]) return sell2 prices=[7, 1, 5, 3, 6, 4] print(maxProfit(prices)) ``` ## 最后 ​ 对于像“多阶段决策最优”问题来说，我们首先要考虑是否能用动态规划来解决，看是否满足动态规划的三个特征：重复子问题、最优子结构、无后效性。然后写出状态转移方程，那问题基本就解决了。 ​ 今天，我们就聊到这里。更多有趣知识，请关注公众号【程序员学长】。我给你准备了上百本学习资料，包括python、java、数据结构和算法等。如果需要，请关注公众号【程序员学长】，回复【资料】，即可得。 ​ 你知道的越多，你的思维也就越开阔，我们下期再见。