手撸机器学习算法 - 线性回归

基于最小化MSE的优化问题可以直接推导出w和b的计算方法；
1. 基于推导出的计算方法直接计算求解；

利用求解器求解

利用求解器求解可以看作就是个列公式的过程，把已知的数据X和Y，未知的变量w和b定义好，构建出MSE的公式，然后丢到求解器直接对w和b求偏导即可，相对来说代码繁琐，但是过程更简单，没有任何数学推导；

代码实现

初始化数据集

X = np.array([1.51, 1.64, 1.6, 1.73, 1.82, 1.87])
y = np.array([1.63, 1.7, 1.71, 1.72, 1.76, 1.86])

定义变量符号

所谓变量指的就是那些 2c58 需要求解的部分，次数就是超平面的w和b；

w,b = symbols('w b',real=True)

定义经验误差函数MSE

RDh = 0
for xi,yi in zip(X,y):
RDh += (yi - (w*xi+b))**2
RDh = RDh / len(X)

定义求解函数

此处就是对w和b求偏导；

eRDHw = diff(RDh,w)
eRDHb = diff(RDh,b)

求解w和b

ans = solve((eRDHw,eRDHb),(w,b))
w,b = ans[w],ans[b]

运行结果

完整代码

from sympy import symbols, diff, solve
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

'''
线性回归拟合wx+b直线；

最小二乘法指的是优化求解过程是通过对经验误差（此处是均平方误差）求偏导并令其为0以解的w和b；
'''

# 数据集 D X为父亲身高，Y为儿子身高
X = np.array([1.51, 1.64, 1.6, 1.73, 1.82, 1.87])
y = np.array([1.63, 1.7, 1.71, 1.72, 1.76, 1.86])
# 构造符号
w,b = symbols('w b',real=True)
# 定义经验误差计算公式：(1/N)*sum(yi-(w*xi+b))^2)
RDh = 0
for xi,yi in zip(X,y):
RDh += (yi - (w*xi+b))**2
RDh = RDh / len(X)
# 对w和b求偏导：求偏导的结果是得到两个结果为0的方程式
eRDHw = diff(RDh,w)
eRDHb = diff(RDh,b)
# 求解联立方程组
ans = solve((eRDHw,eRDHb),(w,b))
w,b = ans[w],ans[b]print('使得经验误差RDh取得最小值的参数为：'+str(ans))

plt.scatter(X,y)
x_range = [min(X)-0.1,max(X)+0.1]
y_range = [w*x_range[0]+b,w*x_range[1]+b]
plt.plot(x_range,y_range)

plt.show()

推导公式求解

与利用优化器求解的区别在于针对\(min\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(w*x_i+b-y_i)^2\)对\(w\)和\(b\)求偏导并令其为0，并推导出w和b的计算公式是自己推导的，还是由优化器完成的，事实上如果自己推导，那么最终代码实现上会非常简单（推导过程不会出现在代码中）；

w和b的求解公式推导

首先，我们的优化目标为：

去除公式中无关的常量部分：

由于一般w是向量，而b为标量，因此通常会将w和b组成[w b]，x变为[x 1]来统一处理w和b，调整后如下：

上式把平方拆开有：

对于w（注意此时w为原w和b的组合）求偏导过程如下：

上式变形后有：

由于此处的w其实是w和b的组合，因此通过这一次推导就得到了w和b两个求解方法；

代码实现

构造数据集

X = np.array([1.51,1.64,1.6,1.73,1.82,1.87]).reshape(-1,1)
y = np.array([1.63,1.7,1.71,1.72,1.76,1.86])

为X增加元素全为1的一列用于和b的计算

ones = np.ones(X.shape[0]).reshape(-1,1)
X = np.hstack((ones,X))

通过求解公式求解w和b

w = np.linalg.inv(self.X.T @ self.X) @ self.X.T @ self.y
w,b = w[1:],w[0]

运行结果

完整代码

完整代码对于求解部分使用的是伪逆而不是逆，原因在于求解公式中正好构造了伪逆，而伪逆适用性强国求逆，因此使用伪逆代替逆；

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rnd = np.random.RandomState(3)  # 为了演示，采用固定的随机

'''
单变量线性回归最小二乘法的矩阵实现：矩阵实现的优势在于numpy本身支持伪逆；

其实就是对于误差平方和的矩阵形式对于W求导并令其为0，得到w_hat = (X^T*X)^-1*X^T*Y，其中(X^T*X)^-1*X^T称为伪逆（pseudo inverse，即函数pinv）

因此可以省略中间大量的构造经验误差、解偏导方程组等步骤；
'''

class LinearRegression(object):
def __init__(self,X,y):
ones = np.ones(X.shape[0]).reshape(-1,1) # 1用于计算b
self.X = np.hstack((ones,X))
self.y = y

def train(self):
# 注意，虽然一般情况下下面二者是等价的，但是在矩阵无法求逆或某些其他情况下时，二者并不相等
# 相对而言伪逆定义更加宽泛，用处更广，因此可以的情况下建议使用伪逆
# self.w = np.linalg.inv(self.X.T @ self.X) @ self.X.T @ self.y
self.w = np.linalg.pinv(self.X) @ self.y
self.w = self.w.reshape(-1)
self.w,self.b = self.w[1:],self.w[0]
return self.w,self.b

def predict(self,x):
return self.w.dot(x)+self.b

def get(self):
return self.X,self.y,self.w,self.b

if __name__ == '__main__':
X0 = np.array([1.51,1.64,1.6,1.73,1.82,1.87]).reshape(-1,1)
y = np.array([1.63,1.7,1.71,1.72,1.76,1.86])

model = LinearRegression(X=X0,y=y)
w,b = model.train()
print(f'最小二乘法的矩阵方式结果为：w={w} b={b}')
print(model.predict(np.array([X0[0]])))

plt.scatter(X0,y)
plt.plot([min(X0),max(X0)],[model.predict(min(X0)),model.predict(max(X0))])
plt.show()

最后

对于算法的学习，一定的数学知识是必要的，对于公式的推导可以让我们对于算法内部运行逻辑有更深的了解；