漫画：寻找股票买入卖出的最佳时机（动态规划）

 小灰 程序员小灰 

前一段时间，我们介绍了一个经典算法题目：寻找股票买入卖出的最佳时机。这个题目看似简单，却有着许多种变化。

在上一篇中，我们讲解了最多1次买卖和无限次买卖的解法，那么，如果只允许最多2次股票买卖，如何寻找最佳时机呢？

我们仍然以之前的数组为例：

首先，寻找到1次买卖限制下的最佳买入卖出点：

两次买卖的位置是不可能交叉的，所以我们找到第1次买卖位置后，把这一对买入卖出点以及它们中间的元素全部剔除掉：

接下来，我们按照同样的思路，再从剩下的元素中寻找第2次买卖的最佳买入卖出点：

这样一来，我们就找到了最多2次买卖情况下的最佳选择：

对于上图的这个数组，如果独立两次求解，得到的最佳买入卖出点分别是【1,9】和【6,7】，最大收益是 （9-1）+（7-6）=9：

但实际上，如果选择【1,8】和【3,9】，最大收益是（8-1）+（9-3）=13>9：

所谓动态规划，就是把复杂的问题简化成规模较小的子问题，再从简单的子问题自底向上一步一步递推，最终得到复杂问题的最优解。

首先，让我们分析一下当前这个股票买卖问题，这个问题要求解的是一定天数范围内、一定交易次数限制下的最大收益。

既然限制了股票最多买卖2次，那么股票的交易可以划分为5个阶段：

没有买卖

第1次买入

第1次卖出

第2次买入

第2次卖出

我们把股票的交易阶段设为变量k（用从0到4的数值表示），把天数范围设为变量n。而我们求解的最大收益，受这两个变量影响，用函数表示如下：

最大收益 = F（n，k）（0<=k<=4，n>=1）

既然函数和变量已经确定，接下来我们就要确定动态规划的两大要素：

1.问题的初始状态
2.问题的状态转移方程式

问题的初始状态是什么呢？我们假定交易天数的范围只限于第1天，也就是n=1的情况：

1.如果没有买卖，也就是k=0时，最大收益显然是0，也就是 F（1,0）= 0

2.如果有1次买入，也就是k=1时，相当于凭空减去了第1天的股价，最大收益是负的当天股价，也就是 F（1,1）= -price[0]

3.如果有1次买出，也就是k=2时，买卖抵消（当然，这没有实际意义），最大收益是0，也就是 F（1,2）= 0

4.如果有2次买入，也就是k=3时，同k=1的情况，F（1,3）= 0 

5.如果有2次卖出，也就是k=4时，同k=2的情况，F（1,4）= 0

确定了初始状态，我们再来看一看状态转移。假如天数范围限制从n-1天增加到n天，那么最大收益会有怎样的变化呢？

这取决于现在处于什么阶段（是第几次买入卖出），以及对第n天股价的操作（买入、卖出或观望）。让我们对各个阶段情况进行分析：

1.假如之前没有任何买卖，而第n天仍然观望，那么最大收益仍然是0，即 F（n，0） = 0

2.假如之前没有任何买卖，而第n天进行了买入，那么最大收益是负的当天股价，即 F（n，1）= -price[n-1]

3.假如之前有1次买入，而第n天选择观望，那么最大收益和之前一样，即 F（n，1）= F（n-1，1）

4.假如之前有1次买入，而第n天进行了卖出，那么最大收益是第1次买入的负收益加上当天股价，即那么 F（n，2）= F（n-1，1）+ price[n-1]

5.假如之前有1次卖出，而第n天选择观望，那么最大收益和之前一样，即 F（n，2）= F（n-1，2）

6.假如之前有1次卖出，而第n天进行2次买入，那么最大收益是第1次卖出收益减去当天股价，即F（n，3）= F（n-1，2） - price[n-1]

7.假如之前有2次买入，而第n天选择观望，那么最大收益和之前一样，即 F（n，3）= F（n-1，3）

8.假如之前有2次买入，而第n天进行了卖出，那么最大收益是第2次买入收益减去当天股价，即F（n，4）= F（n-1，3） + price[n-1]

9.假如之前有2次卖出，而第n天选择观望（也只能观望了），那么最大收益和之前一样，即 F（n，4）= F（n-1，4）

最后，我们把情况【2，3】，【4，5】，【6、7】，【8，9】合并，可以总结成下面的5个方程式：

F（n，0） = 0

F（n，1）=  max（-price[n-1]，F（n-1，1））

F（n，2）=  max（F（n-1，1）+ price[n-1]，F（n-1，2））

F（n，3）=  max（F（n-1，2）- price[n-1]，F（n-1，3））

F（n，4）=  max（F（n-1，3）+ price[n-1]，F（n-1，4））

从后面4个方程式中，可以总结出每一个阶段最大收益和上一个阶段的关系：

F（n，k） = max（F（n-1，k-1）+ price[n-1]，F（n-1，k））

由此我们可以得出，完整的状态转移方程式如下：

在表格中，不同的行代表不同天数限制下的最大收益，不同的列代表不同买卖阶段的最大收益。

我们仍然利用之前例子当中的数组，以此为基础来填充表格：

首先，我们为表格填充初始状态：

接下来，我们开始填充第2行数据。

没有买卖时，最大收益一定为0，因此F（2,0）的结果是0：

根据之前的状态转移方程式，F（2,1）= max（F（1,0）-2，F（1,1））= max（-2，-1）= -1，所以第2行第2列的结果是-1：

F（2,2）= max（F（1,1）+2，F（1,2））= max（1，0）= 1，所以第2行第3列的结果是1：

F（2,3）= max（F（1,2）-2，F（1,3））= max（-2，-1）= -1，所以第2行第4列的结果是-1：

F（2,4）= max（F（1,3）+2，F（1,4））= max（1，0）= 1，所以第2行第5列的结果是1：

接下来我们继续根据状态转移方程式，填充第3行的数据：

接下来填充第4行：

以此类推，我们一直填充完整个表格：

如图所示，表格中最后一个数据13，就是全局的最大收益。

    //最大买卖次数
    private static int MAX_DEAL_TIMES = 2;

    public static int maxProfitFor2Time(int[] prices) {
        if(prices==null || prices.length==0) {
            return 0;
        }
        //表格的最大行数
        int n = prices.length;
        //表格的最大列数
        int m = MAX_DEAL_TIMES*2+1;
        //使用二维数组记录数据
        int[][] resultTable = new int
[m];
        //填充初始状态
        resultTable[0][1] = -prices[0];
        resultTable[0][3] = -prices[0];
        //自底向上，填充数据
        for(int i=1;i<n;++i) {
            for(int j=1;j<m;j++){
                if((j&1) == 1){
                    resultTable[i][j] = Math.max(resultTable[i-1][j], resultTable[i-1][j-1]-prices[i]);
                }else {
                    resultTable[i][j] = Math.max(resultTable[i-1][j], resultTable[i-1][j-1]+prices[i]);
                }
            }
        }
        //返回最终结果
        return resultTable[n-1][m-1];
    }

    //最大买卖次数
    private static int MAX_DEAL_TIMES = 2;

    public static int maxProfitFor2TimeV2(int[] prices) {
        if(prices==null || prices.length==0) {
            return 0;
        }
        //表格的最大行数
        int n = prices.length;
        //表格的最大列数
        int m = MAX_DEAL_TIMES*2+1;
        //使用一维数组记录数据
        int[] resultTable = new int[m];
        //填充初始状态
        resultTable[1] = -prices[0];
        resultTable[3] = -prices[0];
        //自底向上，填充数据
        for(int i=1;i<n;++i) {
            for(int j=1;j<m;j++){
                if((j&1) == 1){
                    resultTable[j] = Math.max(resultTable[j], resultTable[j-1]-prices[i]);
                }else {
                    resultTable[j] = Math.max(resultTable[j], resultTable[j-1]+prices[i]);
                }
            }
        }
        //返回最终结果
        return resultTable[m-1];
    }

在这段代码中，resultTable从二维数组简化成了一维数组。由于最大买卖次数是常量，所以算法的时间复杂度也从O（n）降低到了O（1）。

    public static int maxProfitForKTime(int[] prices, int k) {
        if(prices==null || prices.length==0) {
            return 0;
        }
        //表格的最大行数
        int n = prices.length;
        //表格的最大列数
        int m = k*2+1;
        //使用一维数组记录数据
        int[] resultTable = new int[m];
        //填充初始状态
        resultTable[1] = -prices[0];
        resultTable[3] = -prices[0];
        //自底向上，填充数据
        for(int i=1;i<n;++i) {
            for(int j=1;j<m;j++){
                if((j&1) == 1){
                    resultTable[j] = Math.max(resultTable[j], resultTable[j-1]-prices[i]);
                }else {
                    resultTable[j] = Math.max(resultTable[j], resultTable[j-1]+prices[i]);
                }
            }
        }
        //返回最终结果
        return resultTable[m-1];
    }