本文为系列专题【数据结构和算法：简单方法】的第 12 篇文章。

1. 数据结构 | 顺序表
2. 数据结构 | 链表
3. 数据结构 | 栈
4. 数据结构 | 队列
5. 数据结构 | 双链表和循环链表
6. 数据结构 | 二叉树的概念和原理
7. 数据结构 | 二叉树的创建及遍历实现
8. 数据结构 | 线索二叉树
9. 数据结构 | 二叉堆
10. 算法 | 顺序查找和二分查找

1. 是什么？

二叉查找树（Binary Search Tree）必须满足以下特点：

• 若左子树不为空，则左子树的所有结点值皆小于根结点值
• 若右子树不为空，则右子树的所有结点值皆大于根结点值
• 左右子树也是二叉排序树

如下图，是一颗二叉查找树：

如果你对二叉查找树进行中序遍历，可以得到：5, 10, 12, 14, 16, 22, 30, 41, 54, 66。刚好是一个从小到大的有序序列，从这一点看，二叉查找树是可以进行排序的，所以这种树又叫二叉排序树（Binary Sort Tree）。

2. 查找

我们以上图为例，说明查找成功和失败两种过程。

先贴出代码：

int bst_search(BSTNode *root, int key, BSTNode **p, BSTNode *q)
{
if (root == NULL) { // 空树，查找失败
*p = q;
return 0;
}
if (key == root->data) { // 目标值相等根结点的值，查找成功
*p = root;
return 1;
} else if (key < root->data) { // 目标值小于根结点的值，递归进入左子树
return bst_search(root->left_child, key, p, root);
} else { // 目标值大于根结点的值，递归进入右子树
return bst_search(root->right_child, key, p, root);
}
}

该方法中的三个指针的作用如下：

• 指针

  root

  始终指向根结点， 标识了与目标值比较的结点；

• 二级指针

  p

  指向最终查找的结果。如果查找成功，则指向“指向‘找到的结点’的指针”；如果查找失败，则指向“指向‘上次最后一个访问的结点’的指针”。

• 指针

  q

  初始为空，以后始终指向上一个根结点。

下面是查找成功的过程动图：

下面是查找失败的过程动图：

请注意，以上过程成立的前提是：二叉树是一颗二叉排序树，必须满足二叉排序树的三个特点。

所以，二叉排序树的“排序”二字是为查找而服务的，上面两个动图足以说明，排序方便了查找，因为每次比较都在缩小范围。

二叉排序树和二分查找本质上做的事是一样的，比如以下几方面：

1. 都是有序的。二分查找是全部有序，二叉排序数是局部有序。
2. 都是将一组数划分成若干区域。二分查找通过三个标志位，二叉排序树通过树结构。
3. 都是通过比较目标值和“区域分界点”的大小，从而确定目标值在哪个区域中。在二分查找中与中间标志位比较，在二叉查找树中与根结点比较。

我们在二分查找中说过：当涉及到频繁地插入和删除操作时，二分查找就不合适了。原因之一是二分查找要求元素是有序的（从小到大或从大到小），插入、删除破坏顺序后，需要额外精力维护有序状态。原因之二是二分查找使用顺序表实现，顺序表的插入和删除操作需要移动大量元素，也会影响效率。

但是二叉排序树是一个树，树结构通常使用链式结构来实现。链式结构对插入和删除操作很友好，也有利于我们维护二叉树的有序状态。

3. 创建和插入

现在给你一组没有顺序的数，比如 {16, 41, 14, 30, 10, 12, 54, 5, 22, 66}，如何创建出一颗二叉查找树（BST）？这里为了方便起见，我们约定二叉查找树中没有重复值。

所谓创建，即向一个空树中不断插入结点，从而构成一个非空的二叉查找树。所以关键在于如何向一个二叉查找树中插入结点。

所谓插入，即不断比较待插入结点和树中结点的值，使其插到合适的位置，怎么找到“合适的位置”呢？方法前面已经给出，即

bst_search

。

如果我们在二叉查找树中查找待插入值，一定会查找失败，即

bst_search

一定返回 0，所以

bst_search

方法中的

p

指针最终指向的是最后一个访问的根结点，这个根结点的左孩子或右孩子即是“合适的位置”。

下面是创建（插入）的过程动图，和查找失败的过程动图非常相似：

插入一个结点的代码如下，可以看出，和

bst_search

的代码很相似：

int insert_bst_node(BSTNode **p_root, int key)
{
BSTNode *p;
if (bst_search(*p_root, key, &p, NULL) == 0) { // 没有查找到 key
BSTNode *new = create_bst_node(key); // 创建新结点
if (p == NULL) { // 空树，新节点直接作为根结点
*p_root = new;
return 1;
}
if (key < p->data) { // 插入值小于 p 的值，插入到左子树
p->left_child = new;
return 1;
}
if (key > p->data) {  // 插入值大于 p 的值，插入到右子树
p->right_child = new;
return 1;
}
}
return 0; // 插入失败
}

那么，创建操作用一个 for 循环就搞定了：

void create_bst(BSTNode **root, int *array, int length)
{
// 循环向空二叉查找树中插入若干结点
for (int i = 0; i < length; i++) {
insert_bst_node(root, array[i]);
}
}

4. 删除

至此，我们已经介绍过好几种数据结构了，每种都涉及到增加（插入）和删除操作。就像加法和减法一样，插入和删除操作可以看作是一对“反操作”。这意味着，它们在原理、代码上有相似之处，能够做到触类旁通。但这不是绝对了，必须具体问题结合具体环境进行具体分析。比如删除二叉查找树中的某个结点，可能会破坏二叉查找树的结构，破坏其顺序，所以我们就需要分情况讨论。

【情况一】

**待删除的结点没有孩子，即删除叶子结点。**这是最简单的情况，因为删除叶子不会破坏剩下的结构，也不会破坏剩下的结点的顺序。

【情况二】

待删除的结点只有左子树或者右子树。这种情况也好做，将其左子树或右子树移动到删除结点处即可。由于二叉查找树使用了链式结构，所以删除操作的代价很小，只需要改变指针的指向。

【情况三】

待删除的结点既有左子树又有右子树。这种情况比较复杂，因为删除结点后，剩下了该结点的左子树和右子树“在风中飘荡”，一方面我们要维持树结构，另一方面我们要维持二叉查找树的结点大小顺序，所以删除结点会涉及到整个树结构的调整，即将“剩下的”左子树和右子树重新插到树结构中去。下面是过程：

从上图过程就可以看出，这有点太过打动干戈了。我们先是改变 结点 16 的右孩子指针，然后删除 结点 41，并将其右子树“摘出来”，然后把剩下的右子树中的所有结点重新插入到二叉查找树中。这样确实挺累人的。

不妨换一种思路：

我们将 32 赋值给结点 41，然后删除结点 32，同样能够达到删除结点 41 的效果。这种方式大大简化了操作，不需要移动甚至改变树的结构，代价较小。我称这种方式为——狸猫换太子。

那么为什么偏偏是把结点 32 赋值给待删除结点 41 呢？前面说过，二叉查找树的中序遍历是一个有序序列，这也是为什么叫它二叉排序树的原因。结点 32 刚好是结点 41 在中序遍历序列下的直接前驱结点，所以，将 32 赋值给结点 41 后，并不会影响二叉查找树的“左子树值小于根结点，右子树值大于根结点”的定义。

所以，如何找到待删除结点在中序序列下的直接前驱是关键。

在中序遍历序列下，根结点的直接前驱是其左子树中最右最下的那个结点，如上例中结点 41 的直接前驱是结点 32.

到此，如何写代码就很清晰了。

一、先递归地找到待删除结点：

/**
* @description: 删除目标值结点
* @param {BSTNode**} 二级指针，指向 指向树根结点的指针 的指针
* @param {int} key 目标值
* @return {int} 删除成功返回1；否则返回0
*/
int delete_bst_node(BSTNode **p_root, int key)
{
if (*p_root == NULL) {
return 0;
}
if (key == (*p_root)->data) { // 找到要删除的目标值 key
rebuild_bst_after_delete(p_root);
} else if (key < (*p_root)->data) { // 目标值小于根结点，递归进入左子树
return delete_bst_node(&(*p_root)->left_child, key);
} else { // 目标值大于右子树，递归进入右子树
return delete_bst_node(&(*p_root)->right_child, key);
}
}

可以看出，这段代码和删除操作的代码没有太大区别，本质仍是查找。

二、找到待删除结点后，将结点删除，然后调整以维持二叉查找树的结构：

/**
* @description: 删除某个结点后重新调整二叉查找树
* @param {BSTNode**} p_node 指向待删除结点的二级指针
* @return {int} 成功返回1；失败返回0
*/
int rebuild_bst_after_delete(BSTNode **p_node)
{
BSTNode *prev, *tmp;
tmp = *p_node;
if ((*p_node)->left_child == NULL) { // 左子树为空，重接右子树
*p_node = (*p_node)->right_child;
free(tmp);
return 1;
}
if ((*p_node)->right_child == NULL) { // 右子树为空，重接左子树
*p_node = (*p_node)->left_child;
free(tmp);
return 1;
}
// 左右子树均不为空
if ((*p_node)->left_child != NULL && (*p_node)->right_child != NULL) {
prev = (*p_node)->left_child;
while (prev->right_child != NULL) { // 找到待删除结点的直接前驱
tmp = prev;
prev = prev->right_child;
}
(*p_node)->data = prev->data; // 赋值
if (tmp != *p_node) { // 待删除结点有子孙结点
tmp->right_child = prev->left_child;
} else { // 待删除结点只有两个孩子结点，没有子孙结点
tmp->left_child = prev->left_child;
}
free(prev);
return 1;
}
return 0;
}

以上就是二叉查找树的基本原理及实现

完整代码请移步至 GitHub | Gitee 获取。

如有错误，还请指正。

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