线性代数应该这样学4：线性映射，单射与满射，零空间与像空间，线性映射基本定理

在本系列中，我的个人见解将使用斜体标注。每篇文章的最后，我将选择摘录一些例题。由于文章是我独自整理的，缺乏审阅，难免出现错误，如有发现欢迎在评论区中指正。

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Part 1：线性映射

线性映射让线性代数不再是静态的一门学科，有了线性映射，线性空间中的向量就可以动起来。这一章同时也在告诉读者，向量不只是狭义的数组。

线性映射(linear map) 从$V$到$W$的线性映射是具有下列性质的函数$T:V\to W$：

1. 加性(additivity)：\forall u,v\in V，有$T(u+v)=Tu+Tv$。
2. 齐性(homogeneity)：$\forall \lambda \in\mathbb$和$v\in V$，有$T(\lambda v)=\lambda (Tv)$。

注意线性映射的加性和齐性是缺一不可的，它们并没有相互包含的关系。

线性映射的集合 $\mathcal L(V,W)$代表从$V$到$W$的所有线性映射。

在$\mathcal L(V,W)$中，每一个线性映射$T$是一个集合内的元素，要搞清楚集合的基本元素是什么。

由于$V,W$都是线性空间，所以不可避免地要讨论线性空间的维数和基。可以直观地想象一下，如果一个线性映射$T$确定了集合中每一个基向量$v_1,\cdots,v_n$的取值，那么$V$中的任何向量$v$在$W$中的像$Tv$也随之确定，因为$v$只能由$v_1,\cdots,v_n$唯一表示。这个性质直接引出了下面的定理。

线性映射与基 设$v_1,\cdots,v_n$是$V$的基，w_1,\cdots,w_n\in W，则存在唯一一个线性映射$T:V\to W$使得对任意$j=1,\cdots,n$，都有

Tv_j=w_j.

这里需要先说明两个线性映射相等指的是什么，如果两个线性映射把任意$V$中的$v$都映射到同一个像上，就称它们是同一个线性映射。从我们刚才的分析来看，只要两个线性映射对所有基的成像都相同，它们就是同一个线性映射。

首先证明这样的线性映射存在。定义$T$为

T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1w_1+\cdots+c_nw_n,

显然只要取$c_i=1$，当$j\ne i$时$c_j=0$，就有$Tv_j=w_j$。下验证$T\in\mathcal L(V,W)，即满足加性和齐性。首先\forall \lambda \in\mathbb$，v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n，有

T(\lambda v)=T(\lambda c_1v_1+\cdots+\lambda c_nv_n)=\lambda T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=\lambda Tv,

另外对于$u=a_1v_1+\cdots+a_nv_n$，有

T(u+v)=(a_1+c_1)Tv_1+\cdots+(a_n+c_n)Tv_n=Tu+Tv.

这里写得很简略，展开以后可以立即得出，就不详叙了。接下来要证明这样的线性映射是唯一的，即任何$S\in \mathcal L(V,W)$，如果它满足$Sv_j=w_j$，则$\forall v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n$，有

Sv=c_1Sv_1+\cdots+c_nSv_n=c_1w_1+\cdots+c_nw_n=Tv,

故$S=T$。

刚才我们所构建的$\mathcal L(V,W)只是一个集合，一个集合如果不具有运算，那么集合内部就没有结构，只是一个元素的集合体。现在，我们可以给\mathcal L(V,W)$内定义运算，从而使它具有更多的性质。

\mathcal L(V,W)上的加法和标量乘法：

1. 定义$S+T$为$V$到$W$的线性映射，满足对一切$v$都有

   (S+T)v=Sv+Tv.

2. 定义$\lambda T$是$V$到$W$的线性映射，满足对一切$v$都有

   (\lambda T)v=\lambda (Tv).

这里需要思考，这样定义出来的$S+T$与$\lambda T$是否是线性映射（实际上肯定是，但是需要验证）。同时，要将$\mathcal L(V,W)$上的加法、标量乘法与线性映射的加性、齐性区分开，这两个是完全不同的东西。

加上了定义之后，我们可以验证$\mathcal L(V,W)$是一个线性空间。回顾线性空间的定义条件，加法、乘法、交换性、结合性、分配性质都是容易验证的，乘法单位元也是显然的，而加法单位元应该是$0$映射：\forall v,0v=0。要注意，这里第一个$0$既不是$0$向量，也不是标量$0$，而是一个线性映射：0\in\mathcal L(V,W)，它将$v$上的所有向量映射到$W$空间的加法单位元$0$。

线性映射的乘积(product of linear maps) 若$L\in\mathcal L(U,V)$，S\in\mathcal L(V,W)，则定义线性映射的乘积$ST$为：

\forall u\in U,\quad ST(u)=S(Tu)\in W.

注意到，如果我们把每一个线性映射看成线性空间里的一个向量，一般的向量乘积是没有定义的，但线性映射却可以定义乘积，这是它与一般向量的不同之处。实际上，线性映射也属于特殊的一种函数，所以线性映射的乘积等价于函数的复合。

$ST$是线性映射：线性映射的乘积仍然是一个线性映射。

\forall u_1,u_2\in U，\lambda \in\mathbb{F}，

ST(u_1+u_2)=S[T(u_1+u_2)]=S(Tu_1+Tu_2)=STu_1+STu_2,\\ ST(\lambda u)=S[T(\lambda u)]=S[\lambda (Tu)]=\lambda S(Tu)=\lambda STu.

故$ST$作为映射满足加性和齐性，是线性映射。

我们把线性映射看成一个向量，但是相乘的两个向量并不属于同一个向量空间，乘出的结果也并不属于原来两个向量空间之一（广义来说，即不考虑$\mathcal L(V,V)$的特例），所以它与线性空间中定义的加法又不属于同一种运算类型。

线性映射乘积的代数性质 以下性质有助于对线性映射进行复合。

1. 结合性(associativity)：如果以下乘积都是有意义的，则

   (T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3).

   这里$T_1,T_2$和$T_3$都是线性映射。

2. 单位元(identity)：存在恒等映射$I_V,I_W$，使得$\forall T\in\mathcal L(V,W)$，

   I_WT=TI_V=T.

   在学习的初级阶段，写出映射乘积的存在条件还是很有必要的。

3. 分配性质(distributive properties)：对$T,T_1,T_2\in\mathcal L(U,V)$，S,S_1,S_2\in\mathcal L(V,W)，成立

   (S_1+S_2)T=S_1T+S_2T,\\ S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2.

一般要注意，线性映射的乘法不可交换，即对于一般函数也有$f[g(x)]\ne g[f(x)]$一样。对于那些特别可交换的线性映射对，称它们为可交换的。

结合性：\forall v，这里$v$落在$L_3$的定义域内，则

(T_1T_2)T_3v=(T_1T_2T_3)v=T_1(T_2T_3)v,

故结合性成立。这里的每个等号都是基于线性映射乘法的定义的，不妨回顾一下。

单位元：\forall v\in V，

I_WTv=I_W(Tv)=Tv,\\ TI_V v=T(I_Vv)=Tv,

故$I_WT=TI_V=T$。

分配性质：\forall v\in V，

(S_1+S_2)Tv=(S_1+S_2)(Tv)=S_1Tv+S_2Tv=(S_1T+S_2T)v,\\ S(T_1+T_2)v=S(T_1v+T_2v)=ST_1v+ST_2v=(ST_1+ST_2)v.

对于第一行，第一个等号是线性映射乘法定义，第二个等号是线性映射加法定义，第三个等号是映射的线性性。对于第二行，第一个等号是线性映射加法定义，第二个等号是映射的线性性，第三个等号也是线性映射加法定义。

最后书上给出一个实用的定理，这个定理常常可以直接证明映射不是线性的。

线性映射对加法单位元 若$T\in\mathcal L(V,W)$，则$T(0)=0$。

T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0),

故$T(0)=0$。

Part 2：零空间与值域

可以说，本节中提到的零空间、值域、单射满射都是彼此相连的一个整体，它们之间具有许多联系，共同构成线性映射的结构基础。

零空间(null space) 对于$T\in\mathcal L(V,W)$，$T$的零空间指的是$V$中那些被$T$映射为$0$的向量构成的集合：

\mathrm{null}{T}=\{v\in V:Tv=0\}.

零空间也被称为核空间(kernel)。

零空间之所以能被称为空间，是因为零空间也是一个向量空间，满足加法与标量的封闭性。显然，如果零空间不是线性空间，也没有研究它的价值。

零空间是子空间 设$T\in\mathcal L(V,W)，则\mathrmT$是$V$的子空间。

设$u,v\in\mathrmT$，则

T(u+v)=Tu+Tv=0,\quad u+v\in\mathrm{null}T.

对于$\lambda \in\mathbb$，有

T(\lambda v)=\lambda Tv=0,\quad \lambda v\in\mathrm{null}T.

最后，由于$T(0)=0$，所以$0\in\mathrmT$。向量空间的三大条件得以验证。

单射(injective) 如果$Tu=Tv\Leftrightarrow u=v$，则称$T\in\mathcal L(V,W)$是单射。

单射的概念很重要，联想能够一一确定自变量和因变量的函数——可逆函数，它与单射就很类似。

单射的等价条件 设$T\in\mathcal L(V,W)$，则$T$是单射等价于$\mathrmT={0}$。

这是一个十分重要的定理。

已有${0}\subset\mathrmT$。当$T$是单射时，\forall v\in \mathrm{null}T，有

Tv=0=T0,

结合单射性就得到$v=0$，即$\mathrmT= {0}$。

反之，若$\mathrmT=0$，则$\forall u,v\in V$，如果$Tu=Tv$，则

Tu-Tv=T(u-v)=0,

故$u-v=0$，得到$u=v$，从而证明$T$是单射。

值域(range) 对于$T\in\mathcal L(V,W)$，称$V$的值域为所有形如$Tv(v\in V)$的向量构成的集合，即

\mathrm{range}T=\{Tv:v\in V\}.

自然地，值域也应该是一个子空间，但注意对象不同。显然每一个$Tv\in W$，所以值域是$W$的子空间而不是$V$的，这点与零空间不同。

值域是子空间 设$T\in\mathcal L(V,W)，则\mathrmT$是$W$的子空间。

这个证明虽然简单，但又和零空间的有一些不同。

若$w_1,w_2\in\mathrmT$，则$\exists v_1,v_2\in V$，Tv_1=w_1,Tv_2=w_2，则

w_1+w_2=Tv_1+Tv_2=T(v_1+v_2),

由于$v_1+v_2\in V$，所以$w_1+w_2\in \mathrmT$。同理

\lambda w_1=\lambda Tv_1=T(\lambda v_1)\in\mathrm{range}T,

又因为$T(0)=0$，所以$0\in\mathrmT$。向量空间的三个条件得以验证。

满射(surjective) 设$T\in\mathcal L(V,W)，如果\mathrmT=W$，则称$T$是满射。

单射可以类比一一映射，满射则相当于将映射的值域扩充满了，二者一结合，就能得到全空间上的一一映射。

需要注意的是，如果$W'$是$W$的非平凡子空间，$T\in\mathcal L(V,W')$是满的很可能不意味着$T\in\mathcal L(V,W)$上也是满的，即使对$T$作解析延拓也不一定，这是因为$\mathrmT$受到$V$的维数限制，我们可以很容易地证明这一点。

事实上，我们前面得出了单射与零空间的关系，这里得出了满射与像空间（值域）的关系，这两组关系在形式上对偶，不妨将$Tu=Tv\Leftrightarrow u=v$看作单射的衍生性质，而从零空间的角度定义它，这样显得更统一，不过这让“单射”的名字没有那么写实了。

线性映射基本定理 设$V$是有限维的，T\in\mathcal L(V,W)，则$\mathrmT$是有限维的，且

\dim V=\dim\mathrm{null}T+\dim\mathrm{range}T.

这个定理揭示了线性映射结构的本质关系——它只会造成信息的丢失，而不会造成信息的增加，因为$T(0)=0$，而零空间的维数就是信息丢失多少的量度。

设$u_1,\cdots,u_m$是$\mathrmT$的基，则$\dim \mathrmT=m$。这组基可以扩充成$V$的基：

u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n,\quad \dim{V}=m+n.

如果等式成立，则$\dim\mathrmT=n$，自然会猜想$Tv_1,\cdots,Tv_n$是$\mathrmT$的基，这包括张成性与线性无关性两方面。

先证张成性，\forall v\in V，有

v=a_1u_1+\cdots+a_m u_m+b_1v_1+\cdots+b_nv_n,

故

Tv=T\left(\sum_{j=1}^m a_ju_j+\sum_{j=1}^n b_jv_j \right)=\sum_{j=1}^nb_j Tv_j,

因此$Tv_1,\cdots,Tv_n$张成$\mathrmT$。

再证线性无关，令

a_1Tv_1+\cdots +a_nTv_n=0,

则

T\left(\sum_{j=1}^n a_jv_j\right)=0,\quad \sum_{j=1}^n a_j v_j\in\mathrm{null}T,

所以

\sum_{j=1}^n a_jv_j=\sum_{j=1}^m b_ju_m,

移项后得到$a_1=\cdots=a_n=b_1=\cdots=b_m=0$，线性无关性得证。

对比线性映射基本定理与和空间维数公式的证明过程，读者应该能捕捉到二者之间的共同点。

由线性映射基本定理，直接得到两个推论：

1. 到更小维数向量空间的线性映射不是单射。
2. 到更大维数向量空间的线性映射不是满射。

由此结论建立线性方程组求解的关系，是一个直接的推论。事实上，线性方程组的本质就是我们在例题1中提到的$T\in\mathcal L(\mathbb^n,\mathbb^m)$，$n$是变量个数，$m$是约束条件个数，在这里就不展开了。

例题

3.A部分的例题比较简单，毕竟还是围绕着有限维向量空间的线性映射，只要别忘了有限维向量空间的基就好。3.B部分的例题则主要围绕着线性映射基本定理，还有一些维数的基本关系，只要会利用$V$和$W$的基构造满足条件的线性映射（构造的存在性由“线性映射与基”结论保证），问题基本可以迎刃而解。

第一题（3.A 3） 设$T\in\mathcal L(\mathbb^n,\mathbb^m)$，证明存在标量$A_{j,k}\in\mathbb$，其中$j=1,\cdots,m$，k=1,\cdots,n，使得对任意$(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb^n$都有

T(x_1,\cdots,x_n)=(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\cdots,A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n).

这题看起来无从入手，但是线性代数嘛，既然是有限维向量空间，那就有穷举的机会，莽就完事了。

取$V$的一组自然基$e_1,\cdots,e_n$，它在$T$下必然拥有一个像，故设

T(e_i)=(A_{1,i},A_{2,i},\cdots,A_{m,i}),

由于$V$中的每一个向量都可以被这组基线性表示，不妨设

v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,

则由$T$的线性性，

\begin{aligned} T(v)&=T(x_1e_1+\cdots+x_ne_n)\\ &=T(x_1,\cdots,x_n)\\ &=x_1T(e_1)+\cdots+x_nT(e_n)\\ &=(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\cdots,A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n). \end{aligned}

由$v$的任意性，结论得证。

第二题（3.A 14） 设$V$是有限维的且$\dim\ge2$，证明存在$S,T\in\mathcal L(V,V)$，使得$ST\ne TS$。

这题的关键信息在于$\dim\ge 2$，因而可以找到两个线性无关向量，围绕他们进行一波构造就可以推出找到这样的$S,T$。

设$v_1,v_2$是$V$中两个线性无关的向量，因为$\dim V\ge 2$，所以这样的两个向量是可以找到的。

令

Tv_1=v_2,\quad Sv_1=v_1+v_2,\\ Tv_2=0,\quad Sv_2=v_1.

则

STv_1=Sv_2=v_1,\\ TSv_1=T(v_1+v_2)=v_2,

由$v_1,v_2$的线性无关性，得到$STv_1\ne TSv_1$，即$ST\ne TS$。

第三题（3.B 22） 设$U,V$都是有限维向量空间，并设$S\in \mathcal L(V,W)$，T\in\mathcal L(U,V)，证明：

\dim\mathrm{null}(ST)\le \dim\mathrm{null}S+\dim\mathrm{null}T.

万变不离其宗，基扩充在证明维数不等式上依然是永远的神。

首先要注意到$\mathrmT\subset\mathrm(ST)$。设$u_1,\cdots,u_m$是$\mathrmT$的基，如果$\mathrmT=\mathrm(ST)，则不等式已经成立。假设二者不等，则可以扩充为\mathrm(ST)$的基：

u_1,\cdots,u_m,u_{m+1},\cdots,u_{n}.

满足

Tu_{m+1}\ne 0,\cdots,Tu_n\ne 0.

现证明$Tu_{m+1},\cdots,Tu_n$是线性无关的，即

a_{m+1}Tu_{m+1}+\cdots+a_nTu_n=T\left(\sum_{j={m+1}}^{n} a_ju_{j} \right),

所以$\sum_^a_ju_j\in\mathrmT$，即

\sum_{j=m+1}^n a_ju_j=\sum_{k=1}^m b_ku_k,

移项得到$a_{m+1}=\cdots=a_n=0$（由于$u_1,\cdots,u_n$是$\mathrm(ST)的基），所以线性无关性得证。又因为\mathrmS$中线性无关组的长度中小于张成组的长度，所以

\dim S\ge n-m,\\ \dim\mathrm{null}(ST)=n=n-m+m\le \dim\mathrm{null}S+\dim\mathrm{null}T.

第四题（3.B 26、27）

1、设$D\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbb),\mathcal P(\mathbb))$使得对每个非常数多项式$p\in\mathcal P(\mathbb)均有\mathrm(Dp)=(\mathrmp)-1$，这里$\mathrm$指的是多项式的次数，证明$D$是满射。

2、设$p\in\mathcal P(\mathbb)$，证明存在多项式$q\in\mathcal P(\mathbb)$使得

5q''+3q'=p.

这题本质上和线性方程组是一样的，但由于笔记中对线性方程组的介绍很少，因此将这个例题摘录于此。第二问中的微分算子其实就是第一问中$D$的一种显式，可以看作1中结论的直接应用。另外，看到多项式时，应当考虑多项式空间的自然基，本题的主要问题是无限维向量空间的处理。

1、由题意，\forall n，

\mathrm{deg}Dx^{n+1}=n,

显然由于$Dx,Dx^2,\cdots$的次数不同，它们是线性无关的，对任何一个给定的$j$，

\mathrm{span}(Dx,Dx^2,\cdots,Dx^{j+1})=\mathrm{span}(1,x,\cdots,x^j),

因此令$j\to \infty$，有

\mathrm{span}(Dx,Dx^2,Dx^3,\cdots)=\mathrm{span}(1,x,x^2,\cdots)=\mathcal P(\mathbb{R}),\\ \mathcal P(\mathbb{R})\subset \mathrm{range}D.

又因为对任何多项式$p$，$Dp$仍是一个多项式，所以

\mathrm{range}D\subset \mathcal P(\mathbb{R}),

即$\mathrmD=\mathcal P(\mathbb)$，也就是$D$是满射。

2、定义降次算子为$Dp=3p'+5p''$，则由1，$D$是满的，所以$\forall q\in\mathcal P(\mathbb)$，必定存在一个$p$，使得

Dp=5p''+3p'=q.