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对数几率回归(逻辑回归)原理与Python实现

2021-01-10 19:19 886 查看

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一、对数几率和对数几率回归

  在对数几率回归中,我们将样本的模型输出$y^定义为样本为正例的**概率**,将\frac{y^}{1-y^*}$定义为几率odds),几率表示的是样本作为正例的相对可能性。将几率取对便可以得到对数几率log oddslogit)。

logit=\log\frac{y^*}{1-y^*}

  而对数几率回归Logistic Regression)则试图从样本集中学得模型$w^Tx$并使其逼近该样本的对数几率,从而可以得到:

condition1:w^Tx=\log\frac{y^*}{1-y^*}

二、Sigmoid函数

  通过求解$conditoin1$可以得到:

y^*=\frac{e^{w^Tx}}{1+e^{w^Tx}}=\frac{1}{1+e^{-w^Tx}}

  由此我们可以知道样本$x_i$为正例的概率可以通过函数$h(wTx_i)=\frac{1}{1+e{-w^Tx_i}}$来表示。而其中的函数$h(z)$便被称为Sigmoid函数,其图像如下:

  求其导数:

h'(z)=\frac{-e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}=\frac{1}{1+e^{-z}}(1-\frac{1}{1+e^{-z}})=h(z)(1-h(z))

这是一个很好的性质,有利于简化后面优化模型时的计算。

三、极大似然法

  通过前面的推导,可以得到:

P(y=1|x)=y^*=h(w^Tx)\,\,\,\,\,\,\,\,P(y=0|x)=1-y^*=1-h(w^Tx)

合并两个式子,则有:

P(y|x)=h(w^Tx)^y(1-h(w^Tx))^{1-y}

  求出了样本标记的分布律,便可以通过极大似然法来估计分布律中的参数$w$。先写出极大似然函数:

L(y_i|x_i,w)=\prod^{m}_{i=1}h(w^Tx_i)^{y_i}(1-h(w^Tx_i))^{1-{y_i}}

  对极大似然函数取对可以得到对数似然函数:

l(y_i|x_i,w)=log(L)=\sum^{m}_{i=1}{(y_i\log h(w^Tx_i)+(1-y_i)log(1-h(w^Tx_i)))}

  在前面乘上负数因子便可以得到对数几率回归的代价函数:

J(w)=-\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i\log h(w^Tx_i)+(1-y_i)log(1-h(w^Tx_i)))}

通过最小化上述代价函数便可以估计出参数$w$的值。

四、梯度下降法

  通过上述步骤,优化对数几率回归模型的关键变成了求解:

w=\arg\min J(w)=\arg\min -\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i\log h(w^Tx_i)+(1-y_i)log(1-h(w^Tx_i)))}

  在《线性回归:梯度下降法优化》中,我已经详细介绍了梯度下降法的数学原理,这里直接使用梯度下降法来对对数几率回归模型进行优化。   对$J(w)$进行求导:

\frac{\partial J}{\partial w}=-\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}(y_i(1-h(w^Tx_i))x_i+(y_i-1)h(w^Tx_i)x_i)=-\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i-h(w^Tx_i))x_i}

  将$\frac{\partial J}{\partial w}$带入参数$w$的更新公式$w^*=w-\eta\frac{\partial J}{\partial w}$,最终得到$w$的更新公式如下:

w^*=w+\frac{\eta}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i-h(w^Tx_i))x_i}

四、Python实现

  梯度下降优化算法:

def fit(self, X, y):
self.W = np.zeros(X.shape[1] + 1)
for i in range(self.max_iter):
delta = self._activation(self._linear_func(X)) - y
self.W[0] -= self.eta * delta.sum()
self.W[1:] -= self.eta * (delta @ X)
return self

  导入鸢尾花数据集进行测试:

if __name__ == "__main__":
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import classification_report

irirs = datasets.load_iris()
X = irirs["data"][:100]
y = irirs["target"][:100]
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, train_size=0.7, test_size=0.3)
classifier = LRClassifier().fit(X_train, y_train)
y_pred = classifier.predict(X_test)
print(classification_report(y_test, y_pred))

  分类报告如下:

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