Codeforces741D
2020-11-24 05:53
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题目大意
一棵根为 \(1\) 的树,每条边上有一个字符(\(a-v\)共\(22\)种)
一条简单路径被称为Dokhtar-kosh当且仅当路径上的字符经过重新排序后可以变成一个回文串。
求每个子树中最长的Dokhtar-kosh路径的长度。
解题思路
\(dsu\) \(on\) \(tree\) + 状态压缩
1.重排后构成回文的条件为:
①.每个字母出现的次数都为偶数 ②.一个字母出现次数为奇数,其余字母出现次数为偶数
2.字母的范围为 a ~ z , 把其转换成二进制状态(偶数为0,奇数为1)
那么满足回文条件的二进制为 : 00...000 , 00..001 , 00..010 , ... , 10..000
3.维护一个从根节点到子节点u的前缀异或和数组 X
那么 u 到 v 的简单路径的字母重排后的二进制形式为 X[u] ^ X[v]
4.节点 u 的答案有三种可能:
①.它的两个不同分支的节点构成的简单路径 ②.它的一个分支到它本身构成的简单路径 ③.它的子节点的 ans
于是就可以定义 \(f_x\) 表示状态为 \(x\) 的节点的最大深度
那么当根节点为 \(rt\) 时 , 子节点 \(u\) 和 \(rt\) 产生的贡献为 ↓
if((x[u] ^ x[rt]) == 0) ma = max(ma , dep[u] - dep[rt]); rep(i , 0 , 21) if((x[u] ^ x[rt]) == (1LL << i)) ma = max(ma , dep[u] - dep[rt]);
子节点 \(u\) 和 \(rt\) 的其它分支的产生贡献为 ↓
if(f[x[u]]) ma = max(ma , f[x[u]] + dep[u] - 2 * dep[rt]); rep(i , 0 , 21) { int now = f[x[u] ^ (1LL << i)]; if(now) ma = max(ma , dep[u] + now - 2 * dep[rt]); }
\(rt\) 由它轻子儿子传递上来的贡献为 ↓
for(int i = head[rt] ; i ; i = edge[i].nex) { int v = edge[i].to; if(v == far || v == hson[rt]) continue ; dsu(v , rt , 0); ans[rt] = max(ans[rt] , ans[v]); }
\(rt\) 由它重儿子传递上来的贡献为 ↓
if(hson[rt]) dsu(hson[rt] , rt , 1) , ans[rt] = max(ans[rt] , ans[hson[rt]]) , HH = hson[rt]; if(f[x[rt]]) ma = max(ma , f[x[rt]] - dep[rt]); rep(i , 0 , 21) if(f[x[rt] ^ (1LL << i)]) ma = max(ma , f[x[rt] ^ (1LL << i)] - dep[rt]);
因为要计算不同分支的两点产生的贡献,所以需要先对一个分支统计完贡献后,再添加它的信息
(事实上相同分支内的节点答案的在根节点为 \(rt\) 的子节点的时候就已经算过了)
AC_Code
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++) #define int long long using namespace std; const int N = 6e5 + 10; struct Edge{ int nex , to; }edge[N << 1]; int head , TOT; void add_edge(int u , int v) { edge[++ TOT].nex = head[u] ; edge[TOT].to = v; head[u] = TOT; } int hson , HH , sz , dep , x ; int n , ad8 ma , a , ans , f[N * 20]; void dfs(int u , int far , int now) { sz[u] = 1; dep[u] = dep[far] + 1; x[u] = now ^ a[u]; for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex) { int v = edge[i].to; if(v == far) continue ; dfs(v , u , x[u]); sz[u] += sz[v]; if(sz[v] > sz[hson[u]]) hson[u] = v; } } void calc(int u , int far , int rt) { if(f[x[u]]) ma = max(ma , f[x[u]] + dep[u] - 2 * dep[rt]); if((x[u] ^ x[rt]) == 0) ma = max(ma , dep[u] - dep[rt]); rep(i , 0 , 21) { if((x[u] ^ x[rt]) == (1LL << i)) ma = max(ma , dep[u] - dep[rt]); int now = f[x[u] ^ (1LL << i)]; if(now) ma = max(ma , dep[u] + now - 2 * dep[rt]); } for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex) { int v = edge[i].to; if(v == far || v == HH) continue ; calc(v , u , rt); } } void change(int u , int far , int val) { if(val == 1) f[x[u]] = max(dep[u] , f[x[u]]); else f[x[u]] = 0; for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex) { int v = edge[i].to; if(v == far || v == HH) continue ; change(v , u , val); } } void dsu(int u , int far , int op) { for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex) { int v = edge[i].to; if(v == far || v == hson[u]) continue ; dsu(v , u , 0); ans[u] = max(ans[u] , ans[v]); } if(hson[u]) dsu(hson[u] , u , 1) , HH = hson[u] , ans[u] = max(ans[u] , ans[hson[u]]); if(f[x[u]]) ma = max(ma , f[x[u]] - dep[u]); rep(i , 0 , 21) { if(f[x[u] ^ (1LL << i)]) ma = max(ma , f[x[u] ^ (1LL << i)] - dep[u]); } for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex) { int v = edge[i].to; if(v == far || v == hson[u]) continue ; calc(v , u , u); change(v , u , 1); } ans[u] = max(ans[u] , ma); f[x[u]] = max(f[x[u]] , dep[u]); HH = 0; if(!op) { ma = 0; change(u , far , -1); } } signed main() { cin >> n; rep(i , 2 , n) { int x ; char op; cin >> x >> op; add_edge(i , x) , add_edge(x , i); a[i] = (1LL << (int)(op - 'a')); } dfs(1 , 0 , 0); dsu(1 , 0 , 0); rep(i , 1 , n) cout << ans[i] << " \n"[i == n]; return 0; }
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