银行招聘----数学运算

一、计算

1、常用方法

• 凑整法、互补数法、尾数法
  100000-79999-7999-799-79-7=100000-（80000-1）-（8000-1）-（800-1）-（80-1）+4-7=100000-80000-8000-800-807+4-7=11117

2、比较大小

• 作商法、中间数法
  4/9,17/35,101/203,3/7,151/301中最大的是51/301
  法一：前面4个都是0.4，最后一个是0.5
  法二：前面4个比1/2小，最后一个比1/2大

二、整数与余数问题

1、整除特性

• 被4整除，后两位能被4整除
• 被6整除，能同时被2,3整除
• 能被8整除，后三位能被8整除
• 能被9整除，各位数字之和能被9整除
• 例1 下列数中一定能同时被2,3，4,5整除的数是（X是小于10的自然数，Y是0）：
  A、7XX5XYY B、7XY5XYY C、2XX4YXY
  解析：均能被2,5整除不考虑；因为已有数字相加已经能够被3整除，若想加入XY以后还能被3整除，那么必须有3个X，因此B错误；能被4整除需要后两位能被4整除，显然00是可以的，而XY为10的时候就不可以，因此选择A
• 例2 某天进了6箱视频，包括饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27，当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中，饼干的重量是面包的2倍，则进了多少千克的面包？
  解析：剩下的5箱中，饼干的重量是面包的2倍，说明剩下的饼干和面包重量和是3的倍数。6箱的总重量是102，为3的倍数，所以卖出的面包也应该为3的倍数，9或27千克。假设卖出的是9kg，则剩下的面包重（102-9）÷3=31，都不满足。所以只能是27kg，正好9+16=25，所以25+27=52

2、公约数公倍数

3、余数问题

某超市将一批苹果和橘子搭配进行销售，如果5个苹果和3个橘子为一组装若干袋以后，还剩8个苹果，如果7个苹果和3个橘子为一组装若干袋以后还剩24个橘子，苹果和香蕉共有多少个？
A、168 B、96 C、264 D、272
法一：第一次N袋，第二次M袋，（5+3）N+8=（7+3）M+24；3N=3M+24
法二：7个苹果和3个橘子为一组装若干袋以后还剩24个橘子，所以总数减去24应该是10的倍数，只有C正确

三、工程问题

1、时间型工程问题

• 特点：只有时间的具体数值
• 步骤：①设工作总量为时间的公倍数；②求出相应的效率值；③结合已知条件求解。
• 例1 某容器有进水口和出水口各一个。若封闭出水口，从进水口匀速注水需要20分钟可满，若同时打开进水口和出水口，则注满容器需要40分钟。那么装满水的情况下在只打开出水口时，多少分钟可以排完？
  解析：总水量40，进水效率2，进-出的效率1，所以出水效率为1,40/1=40分钟
• 例2一项工程由甲乙共同完成，如果两人单独完成的话，需要12天，乙单独完成需要15天。现由甲单独干2天，剩下乙独自完成，这项工程共用了多少天？
  解析：工程总量是公倍数60，甲效率是5，乙效率是4，甲干了5×2=10，剩下60-10=50由乙干，时间为50÷4=12.5，所以共2+12.5=14.5天

2、效率型工程问题

• 特点：通常告知或可求效率比
• 步骤：①直接把效率比当作效率的具体数值；②根据效率和时间求出工作总量；③结合已知求解
• 例 一项工程，甲单独做12天后乙单独做9天，正好完成。乙独做15天后甲独做8天，也正好完成。问甲独做几天能完成？
  解析：12P甲+9P乙=15P甲+8P乙，所以P甲：P乙=3:2，所以P甲=3，P乙=2。
  总量=123+92=54，因此甲独做需要54÷3=18天。

四、行程问题

1、相遇问题

• 公式：（v甲+v乙）*相遇时间=相距距离

2、追及问题

• 公式：（v甲-v乙）*追及时间=追及路程

• 例1 两人相距6千米，相向而行，1小时相遇；同向而行，3小时相遇，问速度较快的人的平均速度。
  解析 （v甲+v乙）×1=6，（v甲-v乙）×3=6，v甲=4

• 例2 环形跑道长400m，赵钱孙从同一地点同向出发，速度分别是1m/s、3m/s、6m/s，问钱第3次超越赵时，孙超过了钱几次？、
  解析： 钱与赵的追及速度是2m/s，孙与钱的追及速度是3m/s，追及速度呈1.5倍关系，那么追及路程也是1.5倍，3次1.5倍共4.5，还不到5，所以孙超过钱4次了。

  3、背向问题

• 公式：（v甲+v乙）*行驶时间=行驶距离

• 例 甲乙丙丁在环形跑道行驶，同时同地出发，乙丙丁和甲的方向相反。乙的速度是30m/s，丙是40m/s。乙出发后6分钟与甲相遇，丙5分钟与乙相遇，丁4分钟与甲相遇。求丁的速度。
  解析 （ v甲+v乙）×6=（v甲+v丙）×5，得v甲=20m/s，所以环形跑道的长度是（20+30）×6=300m，300=（v甲+v丁）×4 ，丁的速度为55m/s。

  4、流水行船问题

• 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2

• 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

• 例 长江上游的A与下游的B相距300km，轮船从A到B需要6小时，返回需要10小时，如果一直漂流瓶从A顺水漂到B，需要多长时间？
  解析 顺水速度=50，逆水速度=30，漂流瓶就是水速=（50-30）÷2=10，所以时间=300÷10=30小时。

  5、过桥问题

• 人过桥，时间=桥长/速度
  队过桥，时间=（桥长+队长）/速度

• 例 某校汇报演出，老师把学生分成红黄蓝白四个方阵，每队400人，红色方阵前后没人间隔1米，黄色间隔2米，蓝色间隔3米，白色间隔4米，每个方阵之间间隔5米，整个队伍每分钟走50米，途中经过120米的主席台，问多长时间可以通过？
  解析：红：19米，间隔：5米，黄：38米，间隔5米，蓝：57米，间隔5米，白：76米，队伍共205米，所以总路程=队伍长+主席台长=205+120=325米，时间=6.5分钟。

五、容斥问题

• 两个集合：P=A+B-AB+x
• 三个集合：P=A+B+C-AB-AC-BC+ABC+x ，其中x表示都不
• 例 某旅行团60人，去过故宫的有30人，去过颐和园的有32人，两者都没去过的有20人，求两者都去过的人数。
  
• 合唱、象棋、羽毛球三项活动。参加合唱189人，参加象棋152人，参加羽毛球135人，参加两种活动130人，参加三种活动有69人，不参加任何活动的有44，问共多少人？
  解析：P=A+B+C-L2-2L3+x=189+152+135-130-2×69+44=252 尾数法
  两层减一层变1层，三层减两层变1层。

六、排列组合问题

1、加乘原理

• 加法原理：每一件事情可以有N种办法，每种办法之间相互独立。
• 乘法原理：一件事需要n个步骤，第一步有m1种方法， 第二步有m2
• 问：四个盒子里面有4个不同编号的球，让4个人去找与自己衣服编号对应的，首先找与自己编号对应的盒子，如果不是的话去找盒子里面球对应的盒子，两次均不对则失败。问这组成功的概率有多大？

2、排列组合

• 排列：有顺序，Anm=n×（n-1）×……×（n-m+1）
• 组合：无顺序，Cnm=n×（n-1）×……×（n-m+1）/m×(m-1)×……×1

3、常用方法

（1）捆绑法

• 用来解决“必须在一起”的问题

• 例 小明带着女朋友，一行8人去看电影，小明和女朋友一定挨着，问有几种坐法？
  解析：①将小明和女朋友捆成一个元素，还剩7个，对这7个全排列，A77。②捆绑元素的内部全排列，A22，两步相乘。

  （2）插空法

• 用来解决“不能在一起”的问题

• 例1 小明一行8人去看电影，小明不能和其中一个人挨着，问有几种坐法？
  解析：①先排其余的6人，A66。②小明和仇人插入六个人形成的7个空，A72，两步相乘

• 例2 节目单上原有歌舞类3个节目，保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个节目，有几种排法
  解析：一个一个插，同时插两个会默认两个不相邻！！3个节目有4个缝，所有第一个有C41，4个节目有5个缝，所以第二个有C51。相乘=20

（3）隔板法（少）

• 解决“至少分一”的问题

• 例 老师将13个苹果分给3个小朋友，要求每人至少分1个，问有多少分法？
  解析：在13个苹果的12个缝中，随意插入两个隔板，将苹果分成3堆，就能保证每个人至少有一个，C12 2

• 解决“至少分多”的问题

• 例 老师将13个苹果分给3个小朋友，要求每人至少分2个，问有多少分法？
  解析：先从13个中拿出3个，每人先分一个。再用剩下的10个之间的9个缝隙隔两个板，C92

• 12本书分给3个部门， 有多少种分法？
  可以有部门分0本，若想用隔板法，必须满足每堆最少一个，所以借3本，共15本，C14 2=91

七、星期、日期问题

1、判断星期

（1）异年推断

• 如果2003年7月1日是星期二，那么2005年7月1日是周几？
  解析：过一个平年星期数加1，过一个闰年星期数加2,2003-2005过了2003、2004一个平年一个闰年，星期数加3，所以是星期五

  （2）同月推断

• 某月有31天，有4个星期三和4个星期六，那么这个月的15日是星期几?
  解析：15日与1日的星期数相同，这个月有31天，那么1、2、3日的星期数要出现5次，星期三与星期六共4天，1、2、3日只能是星期日、一、二。所以15日是星期日。
• 某年12月有5个星期三，且第一天不是星期一，最后一天不是星期五，则该月18日星期几？
  解析：每个大月会多余3天，其余星期数是4个，根据第一天和最后一天可知，多余的29、30、31日分别对应星期二、三、四，而18日和25日同星期，所以是星期五。

（3）异月推断

• 某年2月有5个星期日，请问这年的6月1日是星期几?
  解：由于有五个星期日，所以2月有29天，且1日和29日都是星期日。从3月1日算起至6月1日共有31+30+31+1=93天，93÷7=13…2，看余数，所以是星期二

（4）普通推断

• 三个人进城，甲每隔9天进一次城，乙每隔11天进一次城，丙每隔7天进一次城，假如这次他们是星期二相遇的，问下次他们是星期几相遇?
  解析：10、12、8的最小公倍数是120，120÷7=17…1，所以是星期三

2、判断日期

• 假如今天是2010年的8月25日，那么再过260天是2011年的几月几日?
  解析： 分段计算。8月26-31共6天，30+31+30+31+31+28+31+30=242天，剩下12天，为5月12日

八、年龄问题

• 勾股数，3、4、5；6、8、10；5、12、13
  -例： 一家四口人的年龄和为149，母亲和外公的年龄以及年龄和都是平方数，而父亲7年前的年龄恰好是孩子的6倍，问外公上一次年龄是孩子的整数倍是几年前？
  解析：带入勾股数6、8、10，所以母亲36，外公64；父亲和孩子剩下49，孩子12，父亲37，上一次是8年前。

九、植树问题

• 两端都植：颗数=段数+1
• 一端都植：颗数=段数
• 两端都不植：颗数=段数-1
• 例 最内层有20个塔，最外层有68个塔，每层之间相差8个，问一共多少个
  解析：层数=间隔数+1=7，然后等差数列求和，二分之一n倍的a1加an

十、方阵问题

• 方阵每向里一层，没边上的人数就少2
• 四周人数=（每边人数-1）×4
• 方阵总人数=最外层每边人数×最外层每边人数

十一、浓度问题

• 混合成平均值，必须用1:1
• 十字交叉法
  例1： 现有浓度为10%的溶液20ml，想要混合成5%的溶液，需要清水多少ml？
  

例2：有1千克浓度为30%的盐水，现要将其稀释到浓度为10%，请问要加入浓度为8%的盐水多少克？

十二、鸡兔同笼

• 甲乙两人参加射击比赛，打中加5分，脱靶扣3分，两人各打10发以后，分数之和是52，甲比乙多16分，甲中了几发？
  解析：甲的得分=（52+16）÷2=34，假设甲全中了，应该得50分，而实际得了34分，相差16，中一次比脱靶多5-（-3）=8分，所以16÷8=2，所以脱靶了2次，中了8次

  十三、男女人数问题

• 甲乙营业部共50人，男员工32人，甲营业部男女比例为5:3，乙营业部男女比例为2:1，问甲营业部有多少女员工？ A、18 B、16 C、12
  解析：由于甲营业部男女比例是5:3，所以女员工人数是3的倍数，排除B。带入求解，选C