文章目录

• 小数位用二进制表示
• 二进制科学计数法表示
• 浮点型的内存结构
• 浮点型取值范围和精度
• 总结

在编程中，浮点型（float，double）通常用来表示小数，我们经常被警告，浮点型存在精度问题，不能用来比较大小，不能用来表示金额，为什么会存在误差呢？首先，我们来了解一下浮点型在计算机内存中是如何存储的。

小数位用二进制表示

要表示浮点型，首先要让小数位也用二进制表示。我们知道二进制表示整数时，最低位代表2的0次方，往高位依次是2的1次方，2次方，3次方……那么对应的，二进制数小数点后面，最高位则是2的-1次方，-2次方，-3次方……如下图所示：

如：

十进制	二进制	计算方式
5.5	101.1	22+20+2-1
8.625	1000.101	23+2-1+2-3
1.6	1.10011001……	20+2-1+2-4+2-5+2-8+……

由此可见，用二进制数表示小数，可能会存在一个非常大的问题：一些本来不是无限循环的十进制小数，表示成二进制之后成了无限循环小数。如0.6用二进制表示就会成为一个无限循环的小数。
计算机无法存储一个无线循环的数，只能将这个数零舍一入（二进制版的四舍五入），这是浮点数存在误差的根本原因。

二进制科学计数法表示

将浮点型用二进制表示后，下一步要将浮点数用科学计数法表示：

十进制	二进制	二进制科学计数法表示
5.5	101.1	1.011*22
8.625	1000.101	1.000101*23
0.6	0.10011001……	1.0011001……*2-1

对于任何数字表示成二进制科学计数法以后，一定是1点几（尾数）乘以2的多少次方（指数）。对于小于零的负数来说，就是负1点几（尾数）乘以2的多少次方（指数）。
所以要存这个数，需要存储三个部分：正负号，尾数，指数

浮点型的内存结构

于是，浮点型的内存结构包含了三个部分，S（正负号）,E（指数加偏移量）,M（尾数）。如图所示：

最高位有1bit存储正负号，然后指数部分占据8bits（4字节）或11bits（8字节），其余部分全都用来存储尾数部分。对于指数部分，这里存储的结果是实际的指数加上偏移量之后的结果。这里设置偏移量，是为了让指数部分不出现负数，全都为大于等于0的正整数。尾数部分的存储，因为二进制的科学计数法，小数点前一定是1开头，因此我们尾数只需要存储小数点后面的部分即可。
如浮点数0.6，它的内存结构为：

浮点型取值范围和精度

知道了浮点型的内存结构，我们不难发现，浮点型的取值范围是由指数来决定的：
float的范围为-2128 ~ +2127，也即-3.40E+38 ~ +3.40E+38；double的范围为-21024 ~ +21023，也即-1.79E+308 ~ +1.79E+308。
浮点型的误差是由尾数的位数来决定的：
浮点数在内存中是按科学计数法来存储的，其整数部分始终是一个隐含着的“1”，由于它是不变的，故不能对精度造成影响。
4字节浮点数尾数为23位，8字节浮点数尾数为52位。
float：2^23 = 8388608，一共七位，由于最左为1的一位省略了，这意味着最多能表示8位数： 2*8388608 = 16777216 。有8位有效数字，但绝对能保证的为7位，也即float的精度为7~8位有效数字；
double：2^52 = 4503599627370496，一共16位，同理，double的精度为16~17位。

总结

浮点型在计算机中，先将小数表示为2进制数，再将二进制用科学计数法来表示。
浮点型的内存结构分为3各部分，正负号，指数，尾数。
指数决定浮点型的取值范围，尾数决定浮点型的精度。
因为存在误差，不能用浮点型表示金额，金额应该用BigDecimal来表示
BigDecimal的基本用法请参见我的下一篇博客：
BigDecimal基本用法