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数据结构与算法专题——第三题 最长公共子序列

2020-08-28 22:07 1371 查看

一:作用

最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度,是一个非常实用的算法,作为码农,此算法是我们的必备基本功。

二:概念

举个例子,cnblogs这个字符串中子序列有多少个呢?很显然有27个,比如其中的cb,cgs等等都是其子序列,我们可以看出子序列不见得一定是连续的,连续的那是子串。我想大家已经了解了子序列的概念,那现在可以延伸到两个字符串了,你可以看出 cnblogs 和 belong 的公共子序列吗?在你找出的公共子序列中,你能找出最长的公共子序列吗?

从图中可以看到最长公共子序列为blog,仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的,可能会有两个以上,但是长度一定是唯一的,比如这里的最长公共子序列的长度为4。

三:解决方案

1. 枚举法

这种方法是最简单,也是最容易想到的,当然时间复杂度也是龟速的,可以分析一下,刚才也说过了cnblogs的子序列个数有27个 ,延伸一下:一个长度为N的字符串,其子序列有2N个,每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配,匹配一次需要O(N)的时间,总共也就是O(N*2N),可以看出,时间复杂度为指数级,恐怖的令人窒息。

2. 动态规划

既然是经典的题目肯定是有优化空间的,并且解题方式是有固定流程的,这里我们采用的是矩阵实现,也就是二维数组。

  • 第一步:先计算最长公共子序列的长度。
  • 第二步:根据长度,然后通过回溯求出最长公共 3eac 子序列。
    现有两个序列X={x1,x2,x3,...xi},Y={y1,y2,y3,....,yi},设一个C[i,j]: 保存Xi与Yj的LCS的长度。

递推方程为:

不知道大家看懂了没?动态规划的一个重要性质特点就是解决“子问题重叠”的场景,可以有效的避免重复计算,根据上面的公式其实可以发现C[i,j]一直保存着当前(Xi,Yi)的最大子序列长度,代码如下:

public class Program
{
static int[,] martix;

static string str1 = "cnblogs";
static string str2 = "belong";

static void Main(string[] args)
{
martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];

LCS(str1, str2);

//只要拿出矩阵最后一个位置的数字即可
Console.WriteLine("当前最大公共子序列的长度为:{0}", martix[str1.Length, str2.Length]);

Console.Read();
}

static void LCS(string str1, string str2)
{
//初始化边界,过滤掉0的情况
for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
martix[i, 0] = 0;

for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
martix[0, j] = 0;

//填充矩阵
for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
{
for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
{
//相等的情况
if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
{
martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
}
else
{
//比较“左边”和“上边“,根据其max来填充
if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
martix[i, j] = martix[i - 1, j];
else
martix[i, j] = martix[i, j - 1];
}
}
}
}
}

图大家可以自己画一画,代码完全是根据上面的公式照搬过来的,长度的问题我们已经解决了,这次要解决输出最长子序列的问题,采用一个标记函数 Flag[i,j],当

①:C[i,j]=C[i-1,j-1]+1 时标记Flag[i,j]="left_up"; (左上方箭头)

②:C[i-1,j]>=C[i,j-1] 时标记Flag[i,j]="left"; (左箭头)

③: C[i-1,j]<C[i,j-1] 时 标记Flag[i,j]="up"; (上箭头)

例如:我输入两个序列X=acgbfhk,Y=cegefkh。

public class Program
{
static int[,] martix;

static string[,] flag;

static string str1 = "acgbfhk";

static string str2 = "cegefkh";

static void Main(string[] args)
{
martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];

flag = new string[str1.Length + 1, str2.Length + 1];

LCS(str1, str2);

//打印子序列
SubSequence(str1.Length, str2.Length);

Console.Read();
}

static void LCS(string str1, string str2)
{
//初始化边界,过滤掉0的情况
for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
martix[i, 0] = 0;

for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
martix[0, j] = 0;

//填充矩阵
for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
{
for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
{
//相等的情况
if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
{
martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
flag[i, j] = "left_up";
}
else
{
//比较“左边”和“上边“,根据其max来填充
if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
{
martix[i, j] = martix[i - 1, j];
flag[i, j] = "left";
}
else
{
martix[i, j] = martix[i, j - 1];
flag[i, j] = "up";
}
}
}
}
}

static void SubSequence(int i, int j)
{
if (i == 0 || j == 0)
return;

if (flag[i, j] == "left_up")
{
Console.WriteLine("{0}: 当前坐标:({1},{2})", str2[j - 1], i - 1, j - 1);

//左前方
SubSequence(i - 1, j - 1);
}
else
{
if (flag[i, j] == "up")
{
SubSequence(i, j - 1);
}
else
{
SubSequence(i - 1, j);
}
}
}
}


由于直接绘图很麻烦,嘿嘿,我就用手机拍了张:

好,我们再输入两个字符串:

static string str1 = "abcbdab";
static string str2 = "bdcaba";


通过上面的两张图,我们来分析下它的时间复杂度和空间复杂度。

  • 时间复杂度:构建矩阵我们花费了O(MN)的时间,回溯时我们花费了O(M+N)的时间,两者相加最终我们花费了O(MN)的时间。
  • 空间复杂度:构建矩阵我们花费了O(MN)的空间,标记函数也花费了O(MN)的空间,两者相加最终我们花费了O(MN)的空间。
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