简易PID算法的快速扫盲(超详细+过程推导+C语言程序)
网上关于
PID算法的文章很多,但是感觉有必要自己再进行一次总结,抽丝剥茧地重新认识了一下PID;
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1 前言
控制系统通常根据有没有反馈会分为开环系统和闭环系统,在闭环系统的控制中,
PID算法非常强大,其三个部分分别为;
P
:比例环节;I
:积分环节;D
:微分环节;
PID算法可以自动对控制系统进行准确且迅速的校正,因此被广泛地应用于工业控制系统。
2 开环控制
首先来看开环控制系统,如下图所示,隆哥蒙着眼,需要走到虚线旗帜所表示的目标位置,由于缺少反馈(眼睛可以感知当前距离和位置,由于眼睛被蒙上没有反馈,所以这也是一个开环系统),最终隆哥会较大概率偏离预期的目标,可能会运行到途中实线旗帜所表示的位置。
开环系统的整体结构如下所示;
这里做一个不是很恰当的比喻;
Input
:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米);Controller
:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步;Process
:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标;
看来没有反馈的存在,很难准确到达目标位置。
3 闭环控制
所以为了准确到达目标位置,这里就需要引入反馈,具体如下图所示;
在这里继续举个不怎么恰当的比喻;隆哥重获光明之后,基本可以看到目标位置了;
- 第一步
Input
:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米); - 第二步
Controller
:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步; - 第三步
Process
:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标; - 第四步
Feedback
:通过视觉获取到目前已经前进的距离,(比如前进了2米,那么还有8米的偏差); - 第五步
err
:根据偏差重新计算所需要的步数,然后重复上述四个步骤,最终隆哥达到最终的目标位置。
4 PID
4.1 系统架构< 20000 /h3>
虽然在反馈系统下,隆哥最终到达目标位置,但是现在又来了新的任务,就是又快又准地到达目标位置。所以这里隆哥开始采用
PID Controller,只要适当调整
P,
I和
D的参数,就可以到达目标位置,具体如下图所示;
隆哥为了最短时间内到达目标位置,进行了不断的尝试,分别出现了以下几种情况;
- 跑得太快,最终导致冲过了目标位置还得往回跑;
- 跑得太慢,最终导致到达目标位置所用时间太长;
经过不断的尝试,终于找到了最佳的方式,其过程大概如下图所示;
这里依然举一个不是很恰当的比喻;
- 第一步:得到与目标位置的距离偏差(比如最开始是10米,后面会逐渐变小);
- 第二步:根据误差,预估需要多少速度,如何估算呢,看下面几步;
P比例则是给定一个速度的大致范围,满足下面这个公式;
K p ∗ e ( t ) K_p*e(t) Kp∗e(t)
因此比例作用相当于某一时刻的偏差(
err)与比例系数 K p K_p Kp的乘积,具体如下所示;
绿色线为上述例子中从初始位置到目标位置的距离变化;
红色线为上述例子中从初始位置到目标位置的偏差变化,两者为互补的关系;
I积分则是误差在一定时间内的和,满足以下公式;
K i ∫ 0 t e ( τ ) d τ K_i\int_{_0}^te(\tau)d\tau Ki∫0te(τ)dτ
如下图所示;
红色曲线阴影部分面积即为积分作用的结果,其不断累积的误差,最终乘以积分系数
K
i
K_i
Ki就得到了积分部分的输出;
D微分则是误差变化曲线某处的导数,或者说是某一点的斜率,因此这里需要引入微分;
K d d e ( t ) d t K_d \cfrac{de(t)}{dt} Kddtde(t)
从图中可知,当偏差变化过快,微分环节会输出较大的负数,作为抑制输出继续上升,从而抑制过冲。
综上, K p , K i , K d K_p,K_i,K_d Kp,Ki,Kd,分别增加其中一项参数会对系统造成的影响总结如下表所示;
参数 | 上升时间 | 超调量 | 响应时间 | 稳态误差 | 稳定性 |
---|---|---|---|---|---|
K p K_p Kp | 减少 | 增加 | 小变化 | 减少 | 降级 |
K i K_i Ki | 减少 | 增加 | 增加 | 消除 | 降级 |
K d K_d Kd | 微小的变化 | 减少 | 减少 | 理论上没有影响 | K d K_d Kd小,稳定性会提升 |
上面扯了这么多,无非是为了初步理解
PID在负反馈系统中的调节作用,下面开始推导一下算法实现的具体过程;
PID控制器的系统框图如下所示;
因此不难得出输入 e ( t ) e(t) e(t)和输出 u ( t ) u(t) u(t)的关系;
u ( t ) = K p e ( t ) + K i ∫ 0 t e ( τ ) d τ + K d d e ( t ) d t u(t) = K_pe(t)+K_i\int_0^te(\tau)d\tau+K_d\cfrac{de(t)}{dt} u(t)=Kpe(t)+Ki∫0te(τ)dτ+Kddtde(t)
K p K_p Kp是比例增益;
K i K_i Ki是积分增益;
K d K_d Kd是微分增益;
4.3 离散化
在数字系统中进行PID算法控制,需要对上述算法进行离散化;假设系统采样时间为
Δ
t
\Delta t
Δt
则将输入
e
(
t
)
e(t)
e(t)序列化得到;
( e 0 , e 1 , e 2 , ⋯ , e n − 2 , , e n − 1 , e n ) (e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{n-2},,e_{n-1},e_{n}) (e0,e1,e2,⋯,en−2,,en−1,en)
将输出
u
(
t
)
u(t)
u(t)序列化得到;
(
u
0
,
u
1
,
u
2
,
⋯
,
u
n
−
2
,
,
u
n
−
1
,
u
n
)
(u_0,u_1,u_2,\cdots,u_{n-2},,u_{n-1},u_{n})
(u0,u1,u2,⋯,un−2,,un−1,un)
- 比例项: K p e ( t ) → 离 散 化 K p e k K_pe(t)\xrightarrow{离散化}K_pe_k Kpe(t)离散化 Kpek
- 积分项: K i ∫ 0 t k e ( τ ) d τ → 离 散 化 K i ∑ i = 1 k e ( i ) Δ t K_i\int_0^{t_k}e(\tau)d\tau\xrightarrow{离散化}K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t Ki∫0tke(τ)dτ离散化 Kii=1∑ke(i)Δt
- 微分项: K d d e ( t k ) d t → 离 散 化 K d e ( k ) − e ( k − 1 ) Δ t K_d\cfrac{de(t_k)}{dt}\xrightarrow{离散化}K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t} Kddtde(tk)离散化 KdΔte(k)−e(k−1)
所以最终可以得到式①,也就是网上所说的位置式PID:
u
(
k
)
=
K
p
e
k
+
K
i
∑
i
=
1
k
e
(
i
)
Δ
t
+
K
d
e
(
k
)
−
e
(
k
−
1
)
Δ
t
\color{#0000FF} u(k)=K_pe_k+K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t+K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t}
u(k)=Kpek+Kii=1∑ke(i)Δt+KdΔte(k)−e(k−1)
将式①再做一下简化;
Δ
u
(
k
)
=
u
(
k
)
−
u
(
k
−
1
)
\Delta u(k) = u(k) - u(k-1)
Δu(k)=u(k)−u(k−1)
最终得到增量式PID的离散公式如下:
Δ u ( k ) = K p ( e ( k ) − e ( k − 1 ) ) + K i e ( k ) + K d ( e ( k ) − 2 e ( k − 1 ) + e ( k − 2 ) ) \Delta u(k)=K_p(e(k)-e(k-1))+K_ie(k)+K_d \Big( e(k)-2e(k-1)+e(k-2) \Big) Δu(k)=Kp(e(k)−e(k−1))+Kie(k)+Kd(e(k)−2e(k−1)+e(k−2))
4.4 伪算法
这里简单总结一下增量式PID实现的伪算法;
previous_error := 0 //上一次偏差 integral := 0 //积分和 //循环 //采样周期为dt loop: //setpoint 设定值 //measured_value 反馈值 error := setpoint − measured_value //计算得到偏差 integral := integral + error × dt //计算得到积分累加和 derivative := (error − previous_error) / dt //计算得到微分 output := Kp × error + Ki × integral + Kd × derivative //计算得到PID输出 previous_error := error //保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差 wait(dt) //等待下一次采用 goto loop
5 C++实现
这里是增量式PID算法的C语言实现;
pid.cpp
#ifndef _PID_SOURCE_ #define _PID_SOURCE_ #include <iostream> #include <cmath> #include "pid.h" using namespace std; class PIDImpl { public: PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ); ~PIDImpl(); double calculate( double setpoint, double pv ); private: double _dt; double _max; double _min; double _Kp; double _Kd; double _Ki; double _pre_error; double _integral; }; PID::PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ) { pimpl = new PIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki); } double PID::calculate( double setpoint, double pv ) { return pimpl->calculate(setpoint,pv); } PID::~PID() { delete pimpl; } /** * Implementation */ PIDImpl::PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ) : _dt(dt), _max(max), _min(min), _Kp(Kp), _Kd(Kd), _Ki(Ki), _pre_error(0), _integral(0) { } double PIDImpl::calculate( double setpoint, double pv ) { // Calculate error double error = setpoint - pv; // Proportional term double Pout = _Kp * error; // Integral term _integral += error * _dt; double Iout = _Ki * _integral; // Derivative term double derivative = (error - _pre_error) / _dt; double Dout = _Kd * derivative; // Calculate total output double output = Pout + Iout + Dout; // Restrict to max/min if( output > _max ) output = _max; else if( output < _min ) output = _min; // Save error to previous error _pre_error = error; return output; } PIDImpl::~PIDImpl() { } #endif
pid.h
#ifndef _PID_H_ #define _PID_H_ class PIDImpl; class PID { public: // Kp - proportional gain // Ki - Integral gain // Kd - derivative gain // dt - loop interval time // max - maximum value of manipulated variable // min - minimum value of manipulated variable PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ); // Returns the manipulated variable given a setpoint and current process value double calculate( double setpoint, double pv ); ~PID(); private: PIDImpl *pimpl; }; #endif
pid_example.cpp
#include "pid.h" #include <stdio.h> int main() { PID pid = PID(0.1, 100, -100, 0.1, 0.01, 0.5); double val = 20; for (int i = 0; i < 100; i++) { double inc = pid.calculate(0, val); printf("val:% 7.3f inc:% 7.3f\n", val, inc); val += inc; } return 0; }
编译并测试;
g++ -c pid.cpp -o pid.o # To compile example code: g++ pid_example.cpp pid.o -o pid_example
6 总结
本文总结了
PID控制器算法在闭环系统中根据偏差变化的具体调节作用,每个环节可能对系统输出造成什么样的变化,给出了位置式和增量式离散
PID算法的推导过程,并给出了位置式算法的
C++程序实现。
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