学习笔记9||数据结构||用数组来实现小根堆
用数组来实现堆
堆:维护一个数据集合//下标从1开始,比较方便
手写堆常用操作:
1、插入一个数:heap[++size]=x;up(size);
2、求当前集合当中的最小值:heap[1]
3、删除最小值:heap[1]=heap[size];size–;down(1);//用最后一个点覆盖第一个,把最后一个点干掉(size–),down把其变成小根堆
(stl里的堆同样支持这三个操作)
4、删除任意一个元素;heap[k]=heap[size];size–;down(k);up(k);//down,up只会执行其中一个,跟删除最小值相同的过程。
5、修改任意一个元素,heap[k]=x;down(x);up(x);
堆的基本结构:
堆是一棵完全二叉树(除了最后一层,其余都是非空的)。
对于小根堆,根节点小于等于左右子节点,因此根节点是最小值。
堆的存储:x是根节点的话,2x是左儿子,2x+1是右儿子。即用一个一维数组可以实现堆的存储。
堆的基本操作:
1、//往下调整,当把某个数变大之后进行的操作。某数变大之后就不满足堆的存储结构,要将变化之后的数下移。注意进行交换的时候是与当前三个数当中最小的值进行交换
down(x){
}
2、//往上调整,当某数变小之后进行的调整。
up(x){
}
应用:例题
用数组表示堆排序,输入一个长度为n的整数数列,从小到大输出前m小的数。
#include < iostream> #include< algorithn> using namespace std; const int N=100010; int n,m; int h[N],size; void up(int u){ while(u/2&&h[u]<h[u/2])//u的父节点存在,并且父节点大于修改之后的节点u,那么u就要up swap(h[u]),h[u/2]); u/=2;//此时u已经变成了父节点,也就是完成了上升 } void down(int u){ int t=u; if(u*2<=size&&h[u*2]<h[t]) t=u*2;//先判断左儿子是否存在,存在的话是不是小于新的这个节点 if(u*2+1<=size&&h[u*2+1]<h[t]) t=u*2+1; if(u!=t){ swap(h[u],h[t]); down(t); } } int main(){ scanf("%d",&n); //建立堆; for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]); size=n; for(int i=n/2;i;i--) down(i);//对堆进行排序,形成正确顺序的堆.整个的时间复杂度小于n while(m --){ printf("%d",h[i]); h[i]=h[size]; size--; down(1); } return 0; }
for(int i=n/2;i;i–) down(i);//解释 从倒数第二层开始down 直到1;
t保存的是最小值,u是输入的,要是u并不是最小的就进行交换。
down是一个递归的运算,只有u和t不相等时才进入if条件进行处理,也就是可以进行递归的down,这个时候u已经变成课儿子的位置,已经进行了递归。
堆的应用
模拟堆:用数组来模拟堆,实现5个基本操作
DK 删除第k个插入的数
DM删除最小值
#include < iostream> #include< algorithn> #include< string.h> using namespace std; const int N=100010; int n,m; int h[N],ph[N],hp[N],size;//ph中存放的是第k次插入的元素是啥,hp中存放的是堆里的值是第几次插入的。 //交换两个元素,要记录第k个插入的数值 void heap_swap(int a,int b){ swap(ph[hp[a]],ph[hp[]b]); swap(hp[a].hp[b]); swap(h[a],h[b]); } void up(int u){ while(u/2&&h[u]<h[u/2])//u的父节点存在,并且父节点大于修改之后的节点u,那么u就要up heap_swap(h[u]),h[u/2]); u/=2;//此时u已经变成了父节点,也就是完成了上升 } void down(int u){ int t=u; if(u*2<=size&&h[u*2]<h[t]) t=u*2;//先判断左儿子是否存在,存在的话是不是小于新的这个节点 if(u*2+1<=size&&h[u*2+1]<h[t]) t=u*2+1; if(u!=t){ swap(h[u],h[t]); down(t); } } int main(){ scanf("%d",&n); //建立堆; while(n--){ char op[10]; int k,x; scanf("%s",&op); if(!strcmp(op,"I")){ scanf("%d",&x); size++; m++; ph[m]=size,hp[size]=m; h[size]=x; up(size); } else if(!strcmp(op,"PM")) return h[1]; else if(!strcmp(op,"DM")){ heap_swap(1.size); size--; down(1); } else if(!strcmp(op,"o")){ scanf("%d",&k); k=ph[k]; heap_swap(k,size); size--; down(k),up(k); } else{ scanf("%d%d",&k,&x); k=ph[k]; h[k]=x; down(k),up(k); } } return 0; }
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