【项目实训日志四】BR-MTC问题概述及思路总结

BR-MTC问题描述

经典的最小生成树（MST）问题是多项式时间可解的。现在考虑一个最小生成树的如下变形——给一个顶点r，要求找一棵以r为根的生成树，总的费用不超过给定预算，覆盖的顶点数目最多。这个问题可称为Budgeted Rooted Max Tree Cover问题（简记为BR-MTC问题），是一个NP困难问题。
BR-MTC问题的定义如下：
输入一个给定的加权无向图 G=(V,E)，这些边的权重被定义为正整数且在树枝上满足度量的三角不等式，在图的结点中给定一个根结点 r∈V，并且给定一个最大的预算范围B。
目标：找到图 G 的一棵包含根节点r的子树，使得这棵子树的所有边的权重之和不超过 B，并且尽可能多的覆盖 G 中的顶点。

思路总结

问题分析：

由我们的问题首先想到MST最小生成树问题。最小生成树问题定义如下：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边，即包含n个顶点的，权重最小的树。而我们的BR-MTC问题则是给定预算范围，使我们找到的子树在满足总权重不大于B的情况下，覆盖的顶点N尽量多。
由于树的边数总是等于顶点数减一，那么顶点越多，则代表边数越多，在边总权重相同的情况下，要想求得覆盖尽量多顶点的字数，需要使得字数的边数尽量多，即使得求得的解的各边平均权重尽量小。

我的想法：

初步粗略想法：
第一步，遍历图中所有的边，按照边的权值从小到大排序。若有权值大于预算B的边，则直接舍去，因为若将这些边添加进来，则显然已经超出预算。
第二步，将与根节点r相连的边中，权值最小的那条边（若权值相同，则随机选取）放入备选集合VsV_sVs​。
第三步，按照从小到大的顺序，把剩余的其他边添加进备选集合，在备选集合中的边的总权值之和超过预算B之前停止。
此时我们尽量多地选取了权重较小的边，总体来看这些边能够满足平均权值较小的要求。但是此时得到的图中可能会有环，也可能不相互连通，不足以构成一棵树。所以与最优解还有很大的距离。

所以需要改进：
在第二步中把边按照从小到大的顺序添加进备选集合时，如果与集合中已有的点会组成环，则直接把这个点舍去，选取下一个点，直至备选集合中的边的总权值之和达到预算B，这样首先可以确保得到的图中没有环。
下面解决可能不相互连通的问题。此时的图中可能会有多个连通分支。设根节点r所在的连通分支为P0P_0P0​,其他k个连通分支分别为P1P_1P1​，P2P_2P2​，…，PkP_kPk​。此时遍历其他剩余边，即第二步中没有被选中加入备选集合的边，这些边的权重相对较大。仍然按照从小到大的顺序遍历这些边，当某条边满足使两个连通分支相连通（即该条边的两个端点分别在两个连通分支中），且不产生回路的条件时，将其放入备选集合，继续遍历选取其他边，直至所有连通分支相互连通，且没有环存在。显然，此时我们备选集合中的边权重总值超过了预算B，需要删除某些边。
下面选择某些边进行删除。为了使图尽可能地保持连通，我们选择较为“孤立”的点所对应的边来进行删除，所以统计度数为1的顶点，将这些顶点对应的边排序，按权值从大到小的顺序进行删除，直至“抵消”上一步中为了使各个连通分支相连而添加的边所带来的开销。由于删掉的顶点为边缘处的顶点，此时的图仍然保持连通。若此时图中度数为1的点较少，不足以满足要求，则在删除这些点的基础上再进行一轮甚至多轮删除，直至满足要求。最后我们就得到了一个联通的、边数尽量多 的子树作为问题的解。

算法分析：
该算法的思想与求解最小生成树的Kruskal算法的思想有些接近，kruskal的算法的基本思想是以边为主导地位，始终选择当前可用的最小边权的边，每次选择边权最小的边链接两个端点是kruskal的规则，并实时判断两个点之间有没有间接联通，也就是说，Kruskal算法从边出发，不断寻找当前未添加进Et的、且权值最小的边，若添加后不形成环，则添加成功；否则跳过，继续尝试添加下一条边，适合边少顶点多的图。
而此算法先不考虑是否连通的问题，为了使覆盖的顶点尽量多，直接选择权值最小的那些边作为备选，在此基础上使它们尽量连通。此算法需要遍历所有的边和顶点，当边和顶点较多时，耗费时间较多；需要多次判定是否有环存在；最后一步的删除也会有很多种可能的情况造成较大的误差。该算法仍然较为复杂，并且存在较大误差，许多细节的地方还没有考虑清楚，不够完备，难以程序实现，因此仅是个人的想法，没有一起继续在此基础上讨论设计。

近似比求解：
虽然最小生成树问题是多项式时间可解的 ，但BR-MTC问题要困难许多。该问题中权重总预算budget的大小变化不确定性为求解增加了许多困难。在为BR-MTC问题在找到一种近似算法时，想要计算其近似比也较为困难，虽然前面阅读的论文中，针对不同问题给出了许多种近似比的证明方式，但是对于本文中提到的想法，以及其他组员设计的算法，个人并没有很好的思路来求解证明近似比。