数据结构(3):树（下）之二叉树与森林及其应用

森林的遍历

树和森林的遍历顺序和规则的描述都可以基于递归

先序遍历：若森林非空：
访问森林中第一棵树的根节点
• 先序遍历第一棵树中根节点的子树森林
• 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林
1. 中序遍历：若森林非空：
   中序遍历森林中第一棵树的根节点的子树森林
   • 访问第一棵树的根节点
   • 中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林

（四）树的应用——并查集

1. 并查集的基本介绍

   并查集是一种简单的集合表示，支持以下三种操作

   Union(S,R1,R2):将集合S中的字集合R1和子集合R2
   • Find(S,x):找到集合S中单元苏x所在的子集合
   • Initial(S):对集合S中的每一个元素先初始化为一个单元素集合

   通常用树的双亲表示作为并查集的存储结构，每个子集合以一棵树表示。所有表示子集合的树，构成表示全集合的森林。

2. 并查集的结构定义

   #define SIZE 100
   int UFSet[SIZE];

3. 并查集的操作实现（简略表示）

   //并查集的初始化
   void Initial(int S[]){
   for(int i = 0;i<size;i++){
   S[i] = -1;
   }
   }
   
   //Find操作
   int Find(int S[],int x){
   while(S[x]>=0)
   x = S[x];
   return x;
   }
   
   //Union操作
   void Union(int S[],int Root1,int Root2){
   S[Root2] = Root1;
   }

说明：如果想要系统地把并查集过一遍，推荐看橙色封面的那本经典的《算法导论》，里面对于并查集采取的存储方式，quick-find,quick-union操作讲述很详细。

并查集的实现在一些算法题中也会涉及，特别是题目有涉及到连通分量的求解还有等价关系的划分的时候，可以考虑使用并查集的思想。

（五）树与森林部分的算法代码展示

有关树与森林的一些算法设计，本质上和二叉树是一致的，且大部分都可以利用到递归的思想，在遍历的过程中进行一些操作。

只不过对树进行操作的时候，要根据具体的应用情景和题意的要求选择适当的存储结构。

1. 求孩子兄弟链表表示法的树上有多少个叶子节点

   typedef struct node{
   ElemType data;
   struct node *fch,*nsib;
   }*Tree;
   int Leaves(Tree t){
   if(t==NULL){
   return 0;
   }
   if(t-<fch == NULL)
   return 1+Leaves(t->nsib);
   else
   return Leaves(t->fch)+Leaves(t->nsib);
   }

   理解：对于一棵树的二叉链表表示，只要一个节点的孩子节点为空，那么这个节点就是叶子节点；而一棵树的叶子节点数目，就是当前节点的左子树（孩子子树）和右子树（兄弟子树）的叶子节点之和。

2. 求孩子兄弟链表表示法的树高

   int Height(CSTree bt){
   int hc,hs;
   if(bt === NULL)
   return 0;
   else{
   hc = Height(bt->first->child);
   hs = Height(bt->nextsibling);
   if(hc+1>hs)
   return hc+1;
   else
   return hs;
   }
   }

   理解：求树高，依然是利用递归算法，对于一般的二叉树就是左右子树的高度最大值加上1，但是在树的二叉表示中，左子树的含义是孩子子树，所以其所在的层次要比兄弟子树低一层，注意这个细节即可。

   若利用非递归算法求解树的高度，可以采取队列的数据结构，利用层次遍历（每次遍历到当前层的最后一个节点，层数即加1）
   具体可以参考树系列的上一篇博文的 三.1.处
   https://blog.csdn.net/kodoshinichi/article/details/106969894

二.树与二叉树的应用

（一）二叉排序树

1. 二叉排序树的定义

   ①二叉排序树的结构定义

   二叉排序树（BST），也称为二叉查找树，二叉排序树或者是一棵空树，或者十四一棵具有下列特性的非空二叉树

   若做子树非空，则左子树上所有的节点关键字值均小于根节点的关键字值

2. 做右子树非空，则右子树上所有节点关键字值均大于根节点的关键字值
3. 左右子树本身也分别是一棵二叉排序树

②二叉排序树的特点

1. 二叉排序树也是一个递归的数据结构，在进行算法设计的时候也可以优先考虑递归算法。
2. 因为左子树节点值<根节点值<右子树节点值，因此对二叉树进行中序遍历即可以得到一个递增的有序序列。

二叉排序树的查找

①二叉排序树查找的描述：即从根节点开始，沿着某一个分支逐层向下进行比较，若二叉排序树非空，将给定值与根节点关键字比较，等于则查找成功，小于则在左子树中查找，大于则在根节点的右子树中查找。

②二叉排序树的查找算法实现

//非递归实现
BSTNode *BST_Search(BiTree T,ElemType key,BSTNode *&p){
p = NULL;
while(T!=NULL&&key!=T->data){
p = T;
if(key<T->data)
T = T->lchild;
else
T = T->rchild;
}//非递归实现，但是也是利用了递归的思想，根据比较的值关系，将根节点移向左子树或右子树
return T;
}

//递归实现
BSTNode *BST_Search(BiTree T,ElemType key){
if(T == NULL)
return NULL;
if(T->data==key)
return T
else if(T->data <key)
BST_Search(T->rchild);
else
BST_Search(T->lchild);
}

二叉排序树的插入
①二叉排序树是动态集合，所以树的构造也是在查找过程中动态建立的，当树中不存在当前查找的关键字节点时，就插入节点。二叉排序树的插入也可以采用递归思想，且插入的节点一定是叶节点。

②算法实现

int BST_Insert(BiTree &T,KeyType k){
//在二叉排序树中插入一个关键字为k的节点
if(T == NULL){
T = (BiTree)malloc(sizeof(BSTNode));
T->key = k;
T-lchild = T->rchild = NULL;
return 1;
}
else if(k==T->key)
return 0;
else if(k<T->key)
return BST_Insert(T->lchild,k);
else
return BST_Insert(T->rchild,k);
}

二叉排序树的构造
①有了前面关于二叉排序树的插入操作的实现，不难想到，二叉排序树的构造就是从一棵空树开始依次对二叉排序树进行插入操作。

②算法实现

void Create_BST(BiTree &T,KeyType str[],int n){
//根据数组str中的关键字值构造一棵以T为根节点的排序二叉树,共有n个节点
T = NULL;
int i  = 0;
while(i<n){
BST_Insert(T,str[i]);
i++;
}
}

二叉排序树的删除
①二叉排序树的删除操作较为复杂，因为需要删除之后不能使二叉链表断裂，且要保证二叉排序树的性质不会丢失。

若被删除的节点只是叶节点，直接删除即可
• 若被删除的节点只有一棵子树，则把待删除节点的子树嫁接在被删除节点的父节点下即可
• 若被删除节点具有两棵子树，则找到待删除节点的直接后继（或者直接前驱），然后将待删除节点的位置的关键字用相应的后继（前驱）的关键字替代，再把后继（前驱）删除即可，因为直接前驱和后继肯定是叶节点，所以此时就将第三种情况转化成第一种了。

二叉排序树的查找效率分析

①对于高度为H的二叉排序树，插入和删除操作的运行时间复杂度均为O（H），但是当二叉树形成了一个倾斜的单支树的时候，此时H与节点个数相同（输入的序列是有序的）。

②查找成功的平均查找长度的求解：对每一个结点，将其查找成功所需的查找次数相加再求平均即可以得到平均查找长度。其中节点的深度就是节点查找成功所需的查找次数，默认根节点得到深度为1。

③二叉排序树 vs. 二分查找:假设对于一个有N个节点的表而言

平衡因子：节点左子树和右子树的高度差为节点的平衡因子

平衡二叉树的插入

关于变换的本质还是没有能够理解，所以每次复习到这儿都需要再花精力去记规律。

规律的识记可以参考以下：

①先记住LL和RR两种基本的变换规则：都是把中间节点移到根节点的位置（所谓中间节点，就是平衡因子绝对值超过1的节点和插入的节点之间的那个节点），然后被替代了的左子树或右子树根据大小关系移到原来根节点的子树位置上。

②LR和RL的目标就是把问题转化成LL或RR，核心步骤就是将被插入子节点的那个节点顺次向上提。

哈夫曼树的构造
对于已知的N各权值分别为w1,w2,…wn的节点，通过哈夫曼算法可以构造出最优二叉树，算法描述如下：

将这N个节点分别作为N棵仅含有一个节点的二叉树
1. 构造一个新节点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新节点的左右子树，并将新节点的权值设置为左右子树权值之和
2. 从F中删除选出的两个节点，并将生成的新的树节点加入到F中
3. 重复上述步骤b和c，直到F中只剩下一棵树为止

哈夫曼编码

哈夫曼编码的综述：哈夫曼编码属于一种可变长度的编码，可变长度编码就是对出现频率较高的字符使用短编码，对出现频率比较低的频率可以适当使用长编码。
1. 哈夫曼编码适用于前缀编码，所谓前缀编码就是没有一个编码是另一个编码的前缀。
2. 哈夫曼树与哈夫曼编码：将每个出现的字符当做一个独立的节点权值就是它出现的频率，按照上述构造过程就可以得到一棵哈夫曼树。构造完毕的时候，所有字符节点均出现在叶结点上。将字符的编码解释为从根到该字符的路径上边标记的序列，边标记为0表示转向左孩子，标记为1表示转向右孩子。

三.参考文档

《王道2019年数据结构考研复习指导》