Fibonacci数列（斐波那契数列） 递归&动态规划（C++）

文章目录

• 一、什么是Fibonacci数列
• 二、简单递归
• 1. 设计递归方程
• 2. 确定边界条件
• 3. 编写程序代码
• 4. 运行结果展示

• 1. 原理/思想
• 2. 程序实现
• （1）使用数组保存
• （2）再简单一点！

一、什么是Fibonacci数列

斐波那契数列指的是这样一个数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
用文字来说，就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

二、简单递归

1. 设计递归方程

• 斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
• 递归定义：
  F(n)={1n=11n=2F(n−1)+F(n−2)n>2 F(n)=\begin{cases} 1 & n=1 \\ 1 & n=2 \\ F(n-1)+F(n-2) & n>2 \end{cases} F(n)=⎩⎪⎨⎪⎧​11F(n−1)+F(n−2)​n=1n=2n>2​

2. 确定边界条件

明显可以看出数列前两项为1，第三项开始，每项为前两项的和；故当 n=0 || n=1 时应跳出。

3. 编写程序代码

// Fibonacci数列（斐波那契数列）的递归实现算法
#include<iostream>
using namespace std;

int fibonacci(int num);

int main()
{
int num = 0; // 项数

cout << "Fibonacci数列，请输入项数：";
cin >> num;
cout << "此项为：" << fibonacci(num) << endl;	//输出结果

return 0;
}

int fibonacci(int num)
{
if (num == 0)
return 0;		// F(0)=0
else if (num == 1)
return 1;		// F(1)=1
else
return fibonacci(num - 1) + fibonacci(num - 2);	// F(n)=F(n-1)+F(n-2)
}

4. 运行结果展示

三、动态规划

1. 原理/思想

• 我们举例研究一下上面的递归算法：计算F(4)

F(4) = F(3) + F(2);
F(3) = F(2) + F(1); // 重复计算了 F(2)
F(2) = F(1) + F(0); // 重复计算了 F(1)
F(1) = 1;
F(0) = 0;

• 从F(4)的例子中可以明显看到在递归中F(2)和F(1)F(0)被我们重复计算了；
  少次循环中这并不明显，但可以想象，当递归层数非常大时，我们将会进行非常大量的重复计算

• 即使没有学习过动态规划，我想也很容易想到：既然重复计算了，那我们把计算过的值保存一下就好了。

2. 程序实现

（1）使用数组保存

// Fibonacci数列（斐波那契数列） 使用数组的动态规划
#include<iostream>
using namespace std;

int fibonacci(int arr[], int num);

int main()
{
int num; // 项数
cout << "Fibonacci数列，请输入项数：";
cin >> num;

int* arr = new int[num]; // 保存计算过的值
arr[0] = 0; // F(0)=0
arr[1] = 1; // F(1)=1

cout << "此项为：" << fibonacci(arr, num) << endl;	//输出结果

delete[] arr;

return 0;
}

int fibonacci(int arr[], int num)
{
if (num < 2)	// 前两项已经保存
return arr[num];
else
return (arr[num] = fibonacci(arr, num - 1) + fibonacci(arr, num - 2)); // 保存并返回值
}

（2）再简单一点！

• 使用数组，我们首先需要创建一个数组，然后以此存入每一项的值
• 而此时，我们已经可以明显感受到：其实我们只需要知道前两项的值就可以了！
• 因此！我们可以再改进一下下：

// Fibonacci数列（斐波那契数列） 动态规划
#include<iostream>

using namespace std;

int fibonacci(int n);

int main()
{
while (true) {

int num; // 项数
cout << "Fibonacci数列，请输入项数：";
cin >> num;

cout << "此项为：" << fibonacci(num) << endl;	//输出结果
}

return 0;
}

int fibonacci(int n) {

if (n == 0)
return 0;

int p1 = 0;		// 第零项的值
int p2 = 1;		// 第一项的值

for (int i = 2; i <= n; i++)
{
int temp = p1 + p2;
p1 = p2;
p2 = temp;
}
return p2;
}

• 运行结果都一样，就不上图了~

*其它一些常见算法请参阅此链接~

最后，非常欢迎大家来讨论指正哦！