整数划分 递归实现（C++）

划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,⋅⋅⋅,xix_1,x_2,···,x_ix1​,x2​,⋅⋅⋅,xi​}}，其中{x1,x2,⋅⋅⋅,xix_1,x_2,···,x_ix1​,x2​,⋅⋅⋅,xi​}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分的个数为f(n−m,m)f(n-m, m)f(n−m,m)；
1. 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m−1)f(n,m-1)f(n,m−1)；
   因此f(n,m)=f(n−m,m)+f(n,m−1)f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1)f(n,m)=f(n−m,m)+f(n,m−1)；

综上所述：

{f(n,m)=1n=1∣∣m=1f(n,n)n<m1+f(n,m−1)n=mf(n−m,m)+f(n,m−1)n>m \begin{cases} f(n, m)= 1 & n=1 || m=1 \\ f(n, n) & n<m \\ 1+ f(n, m-1) & n=m \\ f(n-m,m)+f(n,m-1) & n>m \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​f(n,m)=1f(n,n)1+f(n,m−1)f(n−m,m)+f(n,m−1)​n=1∣∣m=1n<mn=mn>m​

——摘录自百度百科

2. 确定边界条件

根据递归方程，我们可以看出：

• m=1∣∣n=1m=1 || n=1m=1∣∣n=1属于回归条件；
• n<mn<mn<m会转化为n=mn=mn=m，而n=mn=mn=m随着mmm- -会转换为n>mn>mn>m；最终达到回归条件。

3. 编写程序代码

此程序不仅计算了划分个数，而且输出打印了所有的划分形式（移除show()函数可移除此功能）。
注：show()应该函数有借鉴学习于一位博主，但是找不到这位大大了qaq。

// 整数划分的递归实现算法
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int int_HuaFen(int n, int m);
void show(int n, int m, string s);

int main()
{
string s; // 用于展示所有整数划分形式
int n = 1; // 用于整数划分的整数

cout << "请输入一个正整数进行整数划分：";
cin >> n;

cout << "全部划分为：" << endl;
show(n, n, s);

cout << "划分数为：" << int_HuaFen(n, n) << endl;

return 0;
}

// 递归计算划分数
int int_HuaFen(int n, int m)
{
if (n == 1 || m == 1)
return 1;
else if (n < m)
return int_HuaFen(n, n);
else if (n == m)
return 1 + int_HuaFen(n, n - 1);
else
return int_HuaFen(n, m - 1) + int_HuaFen(n - m, m);
}

// 递归展示所有划分形式
void show(int n, int m, string s) {
if (n == 1 || m == 1) {
for (int i = 0; i < n - 1; i++)
s += string("1+");
cout << s << "1\n";
return;
}else if (m > n) {
return show(n, n, s);
}else if (n == m) {
cout << s << n << endl;
return show(n, m - 1, s);
}
if (n - m != 0)
show(n - m, m, s + to_string(m) + string("+"));
else
cout << s << m << endl;
show(n, m - 1, s);
}

4. 运行结果展示

*其它一些常见算法请参阅此链接~

最后，非常欢迎大家来讨论指正哦！