离散数学第七章图论(7.3~7.4) 概念罗列和注解
7.3图的矩阵表示
1.邻接矩阵定义(只对线图有效)
2.邻接矩阵概念推广至多重图与赋权图
3.邻接矩阵性质
无向简单图:对称 对角线为0 i行反映Vi点度数,j列反映Vj点度数 (没有自回路当然对角线元素为0)
有向简单图: 对角线为0 i行反映Vi点出度,j列反映Vj点入数
3.B=AA(T)元素意义
b(ij)的意义:Vi和Vj引出边若共同终止于一些结点,这些结点的总数就是B(ij)的值
对角线元素b(ii)反映Vi出度
4.B=A(T)A元素意义
b(ij)的意义:一些结点引出的边共同终止于Vi和Vj,这些结点的总数就是B(ij)的值
对角线元素b(ii)反映Vi入度
记法:A后入前出
4.A^m元素意义
A^m元素a(ij)表示Vi到Vj长度为m的路径条数
对角线元素a(ii)表示Vi到Vi长度为m的回路条数
不在对角线上时(i≠j时),d(Vi,Vj)就是使A^m的元素a(ij)是非零值的最小正整数m
n个点最多只要写到n次幂就可以了,如果存在路径这时候肯定已经出现了
4.矩阵Br=A+A(2)+A(3)+···+A®中元素的意义
b(ij)是表示从Vi到Vj的长度小于等于r的不同路径总数。(r>0忽略了自己到自己的情况)
n个结点的简单有向图中基本路径长度不超过n-1,基本回路长度不超过n。所以看两点间有没有路径可以如下判断
Bn=A+A2+A3+…+A^(n-1) i≠j
Bn=A+A2+A3+…+A^n i=j
b(ij)≠0,i≠j时从Vi到Vj可达的, i=j时存在经过Vi的回路
b(ij)=0,i≠j时从Vi到Vj不可达的,分属于不同强分图,i=j时不存在经过**Vi的回路
5.可达性矩阵
可达性矩阵就是舍弃了长度信息和条数信息。只要两点间可达则元素记为1。有两种形式的可达性矩阵,一种是要求长度非零,把Bn改成0-1矩阵即可得,另一种不要求长度非零(自己到自己可达也算),把对角线元素全部改为零且B算到n-1次即可。
只需要算到n-1的原因是原来算到n次是为了看有没有回路,后一种定义自己到自己可达对应元素记为1就不用考虑回路的问题了。
6.利用图G的邻接矩阵A和可达性矩阵P判断图G的连通性
无向线图G是连通图,当且仅当P的所有元素均为1。
有向线图G是强连通图当且仅当P 的所有元素均为1。
有向线图G是单侧连通图当且仅当 P∨P (T) 的所有元素均为1。
有向线图G是弱连通图当且仅当以**A∨A(T)(有向边转化为无向边)作为邻接矩阵求得的可达矩阵P’**中所有元素均为1。
7.利用可达性矩阵求强分图
两点属于同一个强分图,则可达性矩阵P中P(ij)和P(ji)均为1。由此可以联想到矩阵转置。当且仅当Vi和Vj相互可达时,P(T)∧P的第(i,j)个元素的值为1。通过P看(T)∧P分块就能求得强分图
7.4欧拉图和哈密尔顿图
无向图:
1.某个不含孤立结点的无向图若每条边画且仅画一次能一笔画完。这时能回到出发点为欧拉图,回不到则有欧拉路径但不是欧拉图
2.无向连通图具有一条欧拉路径=该图有0个||2个度数为奇数的点。无向连通图具有一条欧拉回路=该图点度数都为偶数
有向图:
3.某有向连通图具有欧拉路径=所有点出度等于入度||有两个点可以不满足,但是必须一个出度比入度大1,一个入度比出度大1。某有向连通图具有欧拉回路=所有点出度等于入度
欧拉图是画边,哈密尔顿图则是一笔画点,注意以下对哈密尔顿图的讨论都是无向图前提
4.哈密尔顿路径,哈密尔顿回路
我们可以通过数点度数确认欧拉路径和欧拉回路是否存在。如果事先知道欧拉路径和欧拉回路存在我们则能得出图中点度数的性质。然而汉密尔顿图则没有这种简单的充分必要条件,它的充分必要条件是分开的。
5.无向图G=(V,E),V1是V任意真子集,则G若为哈密尔顿图就要满足w(G-V1)<=|V1|
w(G-V1):从G里去掉所有V1里的点和这些点的关联边得到的图,该图的连通分支数
这个必要条件定理可以用来排除某些无向图不是哈密尔顿图
6.二部图(偶图),互补结点子集
可以把图<V,E>的点集一分为二为X和Y,使每一条边端点一个在X一个在Y内,该图为二部图。可记为<X,E,Y>,X和Y就是互补结点子集
7.二部图<X,E,Y>若点集X和Y的点数不相等则该图不是哈密尔顿图
推论:二部图<X,E,Y>设|X|=m,|Y|=n。若|m-n|>1则图中不存在哈密尔顿路径
8.怎么确认一个图是否为二部图,标记AB法
一个图要有哈密尔顿路径,则AB数目要么相等要么差1(和7一回事)
5和7是哈密尔顿图存在的必要条件,也是哈密尔顿图的性质,可以用来排除某些无向图不是哈密尔顿图,9则是哈密尔顿存在的充分条件
9.某图有n个点(n>=3),若每一对顶点度数和>=n-1则该图存在哈密尔顿路径,>=n则存在哈密尔顿回路。
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