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非常简单的理解-关于sg函数的理解+例题HDU - 1848

2020-05-11 04:10 302 查看

百度百科上对sg函数有如下介绍

定义

任何一个公平组合游戏都可以通过把每个局面看成一个顶点,对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下 面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Grundy函数。首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{1,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。
再来考虑一下顶点的SG值的意义。当g(x)=k时,表明对于任意一个0<=i<k,都存在x的一个后继y满足g(y)=i。也 就是说,当某枚棋子的SG值是k时,我们可以把它变成0、变成1、……、变成k-1,但绝对不能保持k不变。不知道你能不能根据这个联想到Nim游戏, Nim游戏的规则就是:每次选择一堆数量为k的石子,可以把它变成0、变成1、……、变成k-1,但绝对不能保持k不变。这表明,如果将n枚棋子所在的顶 点的SG值看作n堆相应数量的石子,那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略!
对于n个棋子,设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,…,an),再设局面(a1,a2,…,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把ai 变成k,那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。这听上去有点过于神奇——怎么绕了一圈又回到Nim游戏上了。
其实我们还是只要证明这种多棋子的有向图游戏的局面是P-position当且仅当所有棋子所在的位置的SG函数的异或为0。这个证明与上节的Bouton’s Theorem几乎是完全相同的,只需要适当的改几个名词就行了。
刚才,我为了使问题看上去更容易一些,认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上,而是每个棋子在一个有向图上,每次可以任选一个棋子(也就是任选一个有向图)进行移动,这样也不会给结论带来任何变化。
所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games):设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏,定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum),游戏G的移动规则是:任选一个子游戏Gi 并移动上面的棋子。Sprague-Grundy定理就是:g(G)=g(G1)^g(G2)^…^g(Gn)。也就是说,游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
再考虑在本文一开头的一句话:任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数”和“游戏的和”的概念就不是局限于有向图游戏。我们给每 个ICG的每个position定义SG值,也可以定义n个ICG的和。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时,只需对于每个游戏找出求它的每个 局面的SG值的方法,就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆,然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了!
回到本文开头的问题。有n堆石子,每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗,可以从第2堆石子里取奇数颗,可以从第3堆及以后石子里取任意颗…… 我们可以把它看作3个子游戏,第1个子游戏只有一堆石子,每次可以取1、2、3颗,很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4。第2个子游戏也是只有一堆 石子,每次可以取奇数颗,经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子,就是一个Nim游戏。对于原游戏的每 个局面,把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值,然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。其实看作3个子游戏还是保 守了些,干脆看作n个子游戏,其中第1、2个子游戏如上所述,第3个及以后的子游戏都是“1堆石子,每次取几颗都可以”,称为“任取石子游戏”,这个超简 单的游戏有x颗石子的SG值显然就是x。其实,n堆石子的Nim游戏本身不就是n个“任取石子游戏”的和吗?

性质

SG函数的性质。首先,所有的terminal position所对应的顶点,也就是没有出边的顶点,其SG值为0,因为它的后继集合是空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x,它的所有前驱y都满足 g(y)!=0。对于一个g(x)!=0的顶点,必定存在一个后继y满足g(y)=0。
以上这三句话表明,顶点x所代表的postion是P-position当且仅当g(x)=0(跟P-positioin/N-position的 定义的那三句话是完全对应的)。我们通过计算有向无环图的每个顶点的SG值,就可以对每种局面找到必胜策略了。但SG函数的用途远没有这样简单。如果将有 向图游戏变复杂一点,比如说,有向图上并不是只有一枚棋子,而是有n枚棋子,每次可以任选一颗进行移动。

应用

SG函数与“游戏的和”的概念不是让我们去组合、制造稀奇古怪的游戏,而是把遇到的看上去有些复杂的游戏试图分成若干个子游 戏,对于每个比原游戏简化很多的子游戏找出它的SG函数,然后全部异或起来就得到了原游戏的SG函数,就可以解决原游戏了。

说实话这拗长的定义性质及应用我没看懂
我们先了解一下性质中的mex(minimal excludant)
首先引入mex函数,mex(x)=未在集合S中出现,且不超过x的最小非负整数。
举个例子:
S={1,2,3},mex(4)=0;
S={0,1,2,3},mex(4)=4;
S={0,1,3},mex(4)=2;
例如

现在你有 n 个石子,每次可以取走 a(a∈{1,3,4}) 个,两个人轮流取,
谁取完了谁就获胜,问先手是否必胜。

看起来奇奇怪怪的问题,用 SG 函数可以轻松解决。
首先,0个石子时肯定是必败态,
所以 SG[0]=0
然后根据 SG函数的求法一步步推即可:
有 1个石子时,后继状态只有 0,所以
SG[1]=mex{SG[0]}=1
有 2 个石子时,后继状态只有 1,(因为只可取 1 3 4)
所以
SG[2]=mex{SG[1]}=0
有 3个石子时,可以取 1 个或 3个石子,后继状态有 0,2 ,所以 SG[3]=mex{SG[0],SG[2]}=1
推完之后,看回意义,完全满足当函数值为 0 时,先手必败,否则先手必胜。
为什么呢?
仔细回忆必胜态和必败态之间转移:当一个状态的后继状态全都是必胜态时,这个状态就是必败态,(可以取值为0)如果后继状态至少有一个必败态(后继态存在0,那么取值必不为0),那么这个状态就是必胜态。
在 SG函数中这也得到了很好的体现:当一个状态的后继状态的 SG 函数值中至少有一个 0,这个状态的 SG 函数值肯定不为 0,如果有 0,那么这个状态的 SG 函数值肯定为 0。
别忘了 0 代表必败态。

1) terminal position(终态)为P_position. (先手输)
2)N_Position (先手赢)---存在某个移动----->P_Position(当前局势的先手输)
3)P_Position(先手输)-----任何移动----->N_Position(当前局势的先手赢)。

深入理解nim博弈
然后关于sg函数跟博弈的详细关系,证明过程……啥的我没看懂。但结论写的很清楚
本状态的sg函数值=所有子函数结果异或起来。而根据sg函数 值判定当前状态。
下面看个题

任何一个大学生对菲波那契数列(Fibonacci numbers)应该都不会陌生,它是这样定义的:
F(1)=1;
F(2)=2;
F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3);
所以,1,2,3,5,8,13……就是菲波那契数列。
在HDOJ上有不少相关的题目,比如1005 Fibonacci again就是曾经的浙江省赛题。
今天,又一个关于Fibonacci的题目出现了,它是一个小游戏,定义如下:
1、  这是一个二人游戏;
2、  一共有3堆石子,数量分别是m, n, p个;
3、  两人轮流走;
4、  每走一步可以选择任意一堆石子,然后取走f个;
5、  f只能是菲波那契数列中的元素(即每次只能取1,2,3,5,8…等数量);
6、  最先取光所有石子的人为胜者;

假设双方都使用最优策略,请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。
Input
输入数据包含多个测试用例,每个测试用例占一行,包含3个整数m,n,p(1<=m,n,p<=1000)。
m=n=p=0则表示输入结束。
Output
如果先手的人能赢,请输出“Fibo”,否则请输出“Nacci”,每个实例的输出占一行。
Sample Input
1 1 1
1 4 1
0 0 0
Sample Output
Fibo
Nacci
这一题的各个状态的SG值是什么?因为每次可以取走斐波那契数列里的数的石子数,
那么对于任意状态i,i-Fibonacci[j]都是可以取到的,
故我们需要预处理出Fibonacci数列,然后通过枚举的方法,
把i-Fibonacci[j]的SG值全部标记,扫一遍,找到最小的非负整数即为i的SG值。
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a,b,c;
int sg[1001];
int fibonacci[21];
bool visited[11];
void first() //预处理出所有SG值
{
fibonacci[1]=1;
fibonacci[2]=2;
for (int i=3;i<=20;i++) //先预处理出Fibonacci数列,因为m,n,p<=1000,我们只要预处理到1000附近即可
fibonacci[i]=fibonacci[i-1]+fibonacci[i-2];
for (int i=1;i<=1000;i++)
{
memset(visited,false,sizeof(visited)); //visited数组记录所有出现过的非负整数
for (int j=1;j<=20;j++)
if (fibonacci[j]<=i)
visited[sg[i-fibonacci[j]]]=true;
else break;
for (int j=0;j<=10;j++) //找最小非负整数
if (!visited[j])
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}
int main()
{
first();
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
while (a!=0&&b!=0&&c!=0)
{
int k=sg[a]^sg[b];
int t=k^sg[c];
if (t==0)
printf("Nacci\n");
else
printf("Fibo\n");
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
}
}
Description

大学英语四级考试就要来临了,你是不是在紧张的复习?也许紧张得连短学期的ACM都没工夫练习了,反正我知道的Kiki和Cici都是如此。当然,作为在考 场浸润了十几载的当代大学生,Kiki和Cici更懂得考前的放松,所谓“张弛有道”就是这个意思。这不,Kiki和Cici在每天晚上休息之前都要玩一 会儿扑克牌以放松神经。
“升级”?“双扣”?“红五”?还是“斗地主”?
当然都不是!那多俗啊~
作为计算机学院的学生,Kiki和Cici打牌的时候可没忘记专业,她们打牌的规则是这样的:
1、 总共n张牌;
2、 双方轮流抓牌;
3、 每人每次抓牌的个数只能是2的幂次(即:1,2,4,8,16…);
4、 抓完牌,胜负结果也出来了:最后抓完牌的人为胜者;
假设Kiki和Cici都是足够聪明(其实不用假设,哪有不聪明的学生~),并且每次都是Kiki先抓牌,请问谁能赢呢?
当然,打牌无论谁赢都问题不大,重要的是马上到来的CET-4能有好的状态。

Good luck in CET-4 everybody!

Input

输入数据包含多个测试用例,每个测试用例占一行,包含一个整数n(1<=n<=1000)。

Output

如果Kiki能赢的话,请输出“Kiki”,否则请输出“Cici”,每个实例的输出占一行。

Sample Input

1
3
Sample Output

Kiki

Cici
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int sg[1001];
bool visited[101];
int main()
{
int pow[11]={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024};
for (int i=1;i<=1000;i++)
{
memset(visited,false,sizeof(visited));
for (int j=0;j<=10;j++)
if (pow[j]<=i)
visited[sg[i-pow[j]]]=true;
else break;
for (int j=0;j<=100;j++)
if (!visited[j])
{
sg[i]=j;
break;
}
}
int t;
while (scanf("%d",&t)!=EOF)
{
if (sg[t]==0) printf("Cici\n"); else printf("Kiki\n");
}
}
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