图

一、概述

1.1 图

图（graph），可定义为G = (V, E)。其中，**集合V（顶点集）**中的元素称作顶点（vertex）；**集合E（边集）**中的元素分别对应于V中的某一对顶点(u, v)，表示它们之间存在某种关系，故亦称作边（edge）。
规定V和E均是有限集，将规模记作：n= |V|，e=|E|。
邻接关系：顶点与顶点间的关系
关联关系：顶点与和其相连的边的关系

1.2 无向图、有向图、混合图

若边(u, v)对应的顶点u和v的次序无所谓，则称作无向边（undirected edge）。若一幅图中所有边皆为无向边，则称为无向图（undirected graph，简称undigraph）。
反之，若边对应的顶点有次序，则称为有向边（directed edge），若一幅图中所有边皆为有向边，则称为有向图（directed graph，简称digraph）。
若一幅图中同时包含无向边和有向边，则称为混合图（mixed graph）
无向边(u, v)也可记作(v, u)，而有向的(u, v)和(v, u)不可混淆。约定，有向边(u, v)从u指向v，其中u称作该边的起点（origin）或尾顶点（tail），而v称作该边的终点（destination）或头顶点（head）。

图取自清华大学《数据结构（C++语言版）》

1.3 度

与二叉树中度的定义类似
在无向图中：与顶点v关联的边数，称作v的度数（degree），记作deg(v)
对于有向边e = (u, v)，e称作u的出边（outgoing edge）、v的入边（incoming edge）。v的出边总数称作其出度（out-degree），记作outdeg(v)；入边总数称作其入度（in-degree），记作indeg(v)。

1.4 简单图

联接于同一顶点之间的边，称作自环（self-loop）。不含任何自环的图称作简单图（simple graph）

1.5 通路与环路

通路（path）：由m + 1个顶点与m条边交替而成的一个序列
简单通路（simple path）：不含重复节点的路径

环路（cycle）：起止顶点相同的通路
简单环路（simple cycle）：不含重复节点的环路
有向无环图（directed acyclic graph, DAG）：有向图中不含有任何环路的图称为有向无环图

欧拉环路（Eulerian tour）：经过图中所有的边恰好各一次的环路，称为欧拉环路——其长度也恰好等于图中边的总数e。（联想一笔画游戏）
哈密尔顿环路（Hamiltonian tour）：经过图中所有顶点恰好各一次的环路，称作哈密尔顿环路

沿途边的总数m，亦称作通路的长度，记作|π| = m。

1.6 带权网络

通过一个权值函数，为每一边e指定一个权重（weight），比如wt(e)即为边e的权重。各边均带有权重的图，称作带权图（weighted graph）或带权网络（weighted network），有时也简称网络（network），记作G(V, E, wt())。

1.7 复杂度

与树类似却不同的是，图问题的输入规模以顶点数和边数的总和（n+e）来度量。
无论顶点多少，边数最少都有可能为0。
在包含n个顶点的图中，对于无向图，每一对顶点至多贡献一条边，故总共不超过n(n - 1)/2条边，且这个上界由完全图达到。
对于有向图，每一对顶点都可能贡献（互逆的）两条边，因此至多可有n(n - 1)条边。总而言之，对于有n个顶点的图，必有边数e=O(n)

• 点赞
• 收藏
• 分享
• 文章举报