原来--“线性代数---行列式”---可以这样子理解。关注我的公众号，我的排版在公众号会好点~~

     不好意思，这一篇原来事先是在微信公众号上编辑的，有很多排版在这里显示不了，我也是第一次在网上发表文章的小白，我是一名刚上大一学软件的小白，如果感兴趣可以关注一下我的微信公众号，希望能够有各位大佬带带我这个刚上大学的小白在写博客方面飞起来，如果有和我一样的小白也希望在微信公众号上加我好友，一起讨论计算机和数学方面的知识，嘻嘻~~~

今天的知识点清单

1. 二阶行列式

2. 主、次对角线

3. 对角线展开法

4. 排列

5. 逆序

6. 逆序数

7. 逆序数的计算方法

8. 对换

9. 奇偶排列

10. n阶行列式的展开项

11. 行列式的特殊题型

二阶行列式

二阶行列式的个人理解：

    二阶行列式指4个数组成的符号，也就是2行、2列、一共是4个元素。

     二阶行列式是由二元一次方程组推导出来的，是有证明过程的，下面我们就来看看这些二阶行列式是怎样推导出来的。

二阶行列式的推导：

     先随便设一组二元一次方程组：

现在我们想要消去未知量X，步骤是“通分”：

最终可以解出Y的结果表达式：

同理，对于解X的结果表达式：

嘻嘻，看出啥规律了没有？

对于上面的解二元一次方程组的过程有这样的规律：

现在我们来聊一聊这个| |是个什么意思：

    | |是表示行列式的意思，按照我的理解，它的结果是一个值，那么| |就应该是一个计算过程或说是一种计算规则。

二阶行列式的计算规则：

  为了能够更好地理解这个计算规则，下面举一个生动的例子：

   我觉得这个例子非常适合理科生的表白，嘻嘻！

这就是二阶行列式的一个运算规则的记忆方法：

我们再来做几道题试试看：

由例题可以看出，等号左边| |只是运算规则的符号或名字，等号右边是行列式的运算原理：下面我们来对二阶行列式的对角线展开法小结一下：

行列标

认识行列标：

主、次对角线

认识主、次对角线：

   主、次对角线其实我们也很容易理解：

①主对角线：\           ②次对角线：/

还是通过图来理解吧！

三阶行列式

三阶行列式：

   三阶行列式是怎样的？

 三阶行列式一共有9个元素，其展开项一共有6项，三项是正项，三项是负项，每一项当中有3个元素，这就是三阶行列式的一些特点。

三阶行列式的对角线展开法：

 三阶行列式的对角线展开法和二阶行列式是有所不同的。

主对角线是正的

次对角线是负的

有人会问：

2→4→8→6这样子连接可以吗？

  肯定不行，因为这样子的话，就不满足三阶行列式中每一项只有三个元素这一个条件。

那么2→4→1可以吗？

  肯定也是不行的， 因为行列式每一项中的元素之间要满足“不同行，不同列”这一要求。这样1和2同行、1和4同列，就不满足行列式的要求了。

为什么主对角线各项的符号为正项和次对角线各项的符号是符号的呢？

  这个我们需要到后面学逆序和逆序数的时候才能解释。额~好像是奇偶排列那里才能解释这个问题，继续关注我哦~

所以可以得出三阶行列式的计算原理：

      

需要注意的是：

像对角线展开法，也就是上面介绍的两种划线的方法的适用范围只局限于二阶行列式和三阶行列式，用于四阶及其以上的行列式划线也是可以，不过那将会非常麻烦，因此一般四阶及其以上将在后面学习新的方法。大家也可以继续关注我哦，嘻嘻~

排列

排列：

     13 和31 就是两种不同的排列，把若干个某某排在一起就形成一个排列。

n级排列：

     由1、2、3····、n组成的一个有序数组，数组之间的连续性不能够中断，就叫做n级排列。

我们来看一下3级排列是长怎么样的：

 123    132    213    231    312    321

那么31456是不是一个五级排列？

     我们还原它的自然顺序：1、？、3、4、5、6，它的之间缺少一个数2，所以在123456之间就有间断了，就构成不了一个五级排列，只能说它就是一个普通的排列。

对n级排列的所有种类情况的计算：

      N  =  n*(n-1)*·····*3*2*1  

逆序和逆序数

逆序：

    我们首先定义一个自然顺序为标准顺序，这个顺序就是从小到大依次进行排列的。在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。 

逆序数：

    一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数的计算方法：

   

解题步骤：

  ①4的后面有几个比4小的数？→（3个）

  ①2的后面有几个比2小的数？→（1个）

  ①1的后面有几个比1小的数？→（0个）

  ①3的后面有几个比3小的数？→（0个）

综上所述：

 这组排列的逆序数为3+1=4

规范表示：

  N（4213）=3+1=4

由于自然排序没有逆序数，所以N（1234）=0

奇偶排列：

1. 一个排列的逆序数为奇数个，则这个排列为奇排列。

2. 一个排列的逆序数为偶数个，则这个排列为偶排列。

对换：

  ①交换两个数，每做一次对换，奇偶性就改变一次。

  ②一个偶排列进行偶数次对换，该排列的奇偶性不发生改变。

当一个偶排列进行奇数次对换时，该排列由偶排列变为奇排列。

下面就以3412为例展开来看看：

    偶排列

①第一次交换4和1

    奇排列

②第二次交换3和1

 偶排列

③第三次交换1和2

   奇排列

④第四次交换3和4

         偶排列

N级排列相关定理：

   N级排列中，奇排列和偶排列各占一半。

n阶行列式的展开项

首先从三阶行列式的分析开始：

根据按行展开法来分析：

   按行展开法：就上面的例子来说，每一项中的三个元素都是按照行数来展开的。

   比如：第一行选一个，第二行再选一个，第三行再选一个。其中要求在每一行中所选取的元素与其他行的元素“不同行，不同列”。

通过上面的例子可以观察到：

每一项的行标都满足自然排序：a1?a2?a3?所以我们采用按行展开法。

随后，我们来观察一下列标有什么特点：

    一旦选用按行展开法，也就是每项元素的位置满足a1?a2?a3?行标为自然排序，列标为所有排列的可能。

    那么我们可以从这三行中分别挑出三个不同行、不同列的元素相乘，每一项的符号由每项列标排列的奇偶性来决定

   其中，逆序数为偶数的项为正（+）项，逆序数为奇数的项为负（-）项。

    对于按列展开法在这里就不再作展开了，可能在下一篇中会详细地讲，原理与按行展开法是一样的。当每一项中的三个元素的列标为自然排序时，就使用按列展开法，这里说的三个元素当然是三阶行列式中，如果是n阶就要求每项中元素的列标满足自然排序才能使用按列展开法。

    除了遇到行标和列标满足自然排序的情况之外，还会遇到行标和列标都不满足自然排序的情况，这时就不能用按行（列）展开的方法了，关于使用什么方法，我们在后面会接着讲。

三阶行列式按行展开推广到n阶行列式：

    注意：上面每项中各个元素的行标都是按标准排序排列的，只有满足这一个条件才可以进行按行展开法进行展开。按列展开法与此类似。

小试牛刀：

       试一下求这个行列式，可以使用按行展开法，也可以使用按列展开法。

解：

  这个行列式只有一项，其他项都因乘一个0而归0！

要注意了：

  我们应用这些概念一定要明白所用的对象，像逆序数的计算，逆序数的那个排列是从哪里来的？

我们通过例子来理解：

 我们要证明：8*1*6这一项是负数：

    我们先看它的坐标（3,2）*（1,1）*（2,3）。

    我们整理一下（1,1）*（2，3）*（3,2）也就是1*6*8。

    因为使用按行展开法，每一项的符号由列标排序的奇偶性决定，也就是“132”只有1个逆序数，逆序数为奇数，所以这一项为负数。

    通过例子，我想说明的是，这里所说的排序不是8*1*6的排序，这是行列式的元素，而逆序数所使用的的排序，是8*1*6按行展开时的列标排序。

     我一开始由于逆序的对象一直搞成元素，后来才想明白，原来逆序的对象是行标或者是列标。希望读者能够理解我这里要表达的。如果在这里有不明白的可以微信加我好友，或者是留言提问也可以哈~

行列式的特殊题型

注意：每一项的元素之间是要不同行，不同列。

小结一下：

   这些类型的行列式运算基本上都是对角线之间的元素相乘。

其实一般情况之下，我们都是把行列式转化为这种特殊行列式进行行列式的计算。由于相关的知识点在后面，只能够在下一篇中进行描述了哈~

如果喜欢我的笔记的话，可以继续关注我的公众号哦~嘻嘻。因为平常时我也没怎么做过笔记，所以笔记难免会有一点遗漏或错误，希望各位大佬多多点评，也希望小白们可以关注我哦~嘻嘻

下面先介绍一下第一章行列式笔记的目录吧！

目录

•   二阶行列式

•   主、次对角线

•   对角线展开法

•   排列

•   逆序

•   逆序数

•   逆序数的计算方法

•   对换

•   奇偶排列

•      n阶行列式的展开项（第一定义）

•   行列式的特殊题型

• 行列式的按列展开法（第二定义）

• 不按行、不按列展开法（第三定义）

• 行列式的性质：

• 转置

• 性质1

• 性质2

• 性质4

• 性质5

• 性质6

• 性质7

• 行列式按行展开

• 余子式

• 代数余子式

• 异乘变零定理

• 拉普拉斯定理

• 行列式相乘规律

• 范德蒙行列式

• 反对称行列式

• 克莱姆法则

• 齐次线性方程组

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