复杂网络建模学习笔记四（级联故障以及同步性）

级联故障建模：

基于节点和边的混合动态模型：用eij来表示节点i、j之间的信息传递效率，eij∈[0,1]，eij越大代表传输效率越高。用平均效率来衡量网络破坏的程度。

结论：ER随机图抵抗级联故障的能力比BA无标度网络强，且基于负荷的去节点方式比随机去节点方式更容易引发级联故障。

同步性建模：

由状态方程表示：

当x1=x2=...=xn时，为同步流形态。

当网络是一个无向连通图时，矩阵A=[aij]是一个对称矩阵，且aij=aji=1当ij之间有一条边时(i≠j)，没有边时为0；aii=-k。即该矩阵的对角线是该节点的度的相反数，其他位置如果这两个点有一条边相连即为1，没有即为0。且该矩阵的特征值λn≤λn-1≤...≤λ2≤λ1=0(由对称矩阵的性质可得)。且A=-L（拉普拉斯矩阵）,且对于L，有：0=λ1≤λ2≤...≤λn-1≤λn。

规则网络的完全同步：

类型1：没有同步区间。

类型2：同步区间S1=(α1，∞)，当α1<c*λ2时。因此当λ2越大，同步性越好。

类型3：同步区间S2=(α2，α3)，当0<λn/λ2<cλ时。因此当λn/λ2越小时，同步性越好。

结论：对于全连接网络，不管c多小，只要网络规模够大，一定可以达到同步；对于环形图，不管c多大，当网络规模充分大时，都无法达到同步；对于小世界网络而言，p越大同步性越好；对于无标度网络而言，幂律分布的那个指数越大，同步性越好；且对于这两个网络来说，如果节点的介数越小，同步性越好。进一步，对于同胚网络，介数与同步性之间存在联系，而异胚网络没有这种联系。

增强同步性的两种方法：重构网络结构（限制最大介数）、修改耦合结构（减少度和介数分布的多样性的影响）。

图论的研究方法：结构参数与同步性之间的联系、图的相关理论与同步性之间的联系（与节点的度及介数之间的联系、图的特征值会随着边数的增加而增大、介数不同同步性可能相同、对于无界的同步性区间而言，边数增加，同步性不会减少，但是对于有界的来说却不一定，因为有界的是和特征值的比率有关。）

互补图：点不变，边互补。对于任意给定的一个图G，图G的特征值λN(G)≤N，取等号时当且仅当G的互补图Gc是不连通的。

由于G的最大特征值是与Gc联通的部分数有关，因此为了减少增强同步性所需要的边，Gc的最大特征值的多样性应该尽可能大。（有时候图G本身可能很复杂，但是我们可以根据互补图与同步性之间的关系，转换成研究他的互补图，因为互补图很多时候比原图更简单）

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