【考研408数据结构】时间复杂度

时间复杂度

关于时间复杂度，最最重要的一句话就是：将算法中基本操作的执行次数作为时间复杂度的度量。时间复杂度并不是执行程序所需要的时间，而是执行基本操作的总次数。

考研中，常常需要比较各个时间复杂度的大小，常用的时间复杂度比较关系为：

O(1)≤O(log2(n))≤O(n)≤O(n*log2(n))≤O(n2)≤O(n3)≤…≤O(nk)≤O(2n)

计算时间复杂度的具体步骤如下：

1. 确定算法中的基本操作以及问题的规模
2. 根据基本操作执行情况计算出规模数n的函数f(n)，并确定时间复杂度T(n)=O(f(n)中增长最快项/此项系数)（也就是说只考虑最高项，且忽略最高项的系数）

注意：有的算法中基本操作的执行次数不仅跟初始输入的数据规模有关，还和数据本身有关。比如说，一些个排序算法，同样有n个待处理的数据，但数据初始有序性不同，则基本操作的执行次数也不同。一般是依照使得基本操作执行次数最多的输入来计算时间复杂度，即最坏的情况下作为时间复杂度的度量。

例1.1求以下算法的时间复杂度

void fun(int n)
{
int i = 1,j = 100;
while(i < n)
{
++j;
i+=2;
}
}

分析：

第一步：找出基本操作，确定规模n

1. 找基本操作。多数情况下取最深层循环内的语句所描述的操作作为基本操作，显然题目中*++j;i+=2;*这两句都是基本操作。
2. 确定规模n。由循环条件可以得知，循环执行的次数和n有关，故，参数n就是我们所说的规模n。

第二步：计算出n的函数f(n)

​ n确定之后，循环的结束与否跟i有关，i的初值为1，每次自增为2，假设i自增m次后，循环结束，则i最后的值为1+2m，因此1+2m>n，即1+2m+K=n（k为常数，弥补循环结束时i和n的差距），解的m=（n-1-K）/2，即f(n)=(n-1-K)/2，根据时间复杂度的计算原则：只考虑最高项，且忽略最高项的系数，所以时间复杂度***f(n)=O(n)***。

例1.2分析以下代码的时间复杂度

void fun(int n)
{
int i,j,x=0;
for(i=0;i<n;++i)
for(j=i+1;j<n,++j)
++x;
}

分析：

++x;处于最内层循环，故，++x为基本操作，显然，n为规模，可以算出++x执行次数f(n)=n*(n-1)/2，所以时间复杂度*f(n)=O(n2)

例1.3分析以下算法的时间复杂度

void fun(int n)
{
int i=0,s=0;
while(s<n)
{
++i;
s=s+i;
}
}

分析：

显而易见，规模为n，基本操作是++i,和s=s+i；i和s都是从0开始，假设执行m次之后，循环结束，则循环结束之时，s的值为m(m+1)/2。所以
m=(−1+(8n+1−8K))/2 m=(-1+\sqrt(8n+1-8K))/2 m=(−1+(​8n+1−8K))/2
由此可知时间复杂度***T(n)=O(n1/2)***

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