Lenet-5卷积神经网络结构详解（一）——原理解析

前言

本系列博文将阐释深度学习网络Lenet-5的具体原理，网络结构及其代码实现。本文不适用任何高级框架，只使用numpy从底层实现lenet-5。本系列博文共计3篇，本文是第一篇。系列中代码参考地址：
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网络综述

Lenet-5 神经网络出自论文 Gradient-Based Learning Applied to Document Recognition，是一种用于手写体字符识别的非常高效的卷积神经网络。Lenet-5 神经网络一共有 7 层，每层包含不同数量的训练参数。将一批数据输入进神经网络，经过卷积，激活，池化，全连接和Softmax 回归等操作，最终返回一个概率数组，从而达到识别图片的目的。

配置环境

python 3.7.3

numpy 1.16.4

数据集

在我们直视整个网络前，我们先来看一下网络要处理的数据集。

由于网络处理手写字符比较高效，我们选用知名度很高的Minst数据集，下载地址：download minst dataset

上述的下载网址中说明了数据集的构成：60000张手写体数字图片，每张图片的大小为28x28。下载网址中详细说明了压缩文档的构成，我们可以利用这些信息编写函数将数据集下载下来。

下载

我们编写load_data.py实现从网址下载函数的功能。需要的模块有gizp 和 pickle,没有的同学请自行pip。

import gzip
import pickle
import numpy as np

file_name = [
["x_train_set","train-images-idx3-ubyte.gz"],
["x_test_set","t10k-images-idx3-ubyte.gz"],
["y_train_set","train-labels-idx1-ubyte.gz"],
["y_test_set","t10k-labels-idx1-ubyte.gz"]
] # 文件名，下载地址： http://yann.lecun.com/exdb/mnist/

"""
存储数据到dataset_minst.pkl文件夹。
"""
def save_dataset ():
dataset ={}
for name in file_name[:2]:
with gzip.open(name[1],"rb") as f:
dataset[name[0]] = np.frombuffer(f.read(),np.uint8,offset = 16).reshape(-1,28*28)# 为什么要offset16?因为前16个字符是
for name in file_name[-2:]:
with gzip.open(name[1],"rb") as f:
dataset[name[0]] = np.frombuffer(f.read(),np.uint8,offset = 8)
with open("dataset_mnist.pkl","wb") as f:
pickle.dump(dataset,f)
print("save complete")

def load_data():
with open("dataset_mnist.pkl","rb") as f:
dataset = pickle.load(f)
return dataset["x_train_set"],dataset["x_test_set"],dataset["y_train_set"],dataset["y_test_set"]

上述代码提供两个功能函数：save_data()和load_data()。save_data()将数据集下载，解压并储存在dataset_mnist.pkl文档里，而load_data()负责将pkl文件里的数据加载到程序中。关于代码中的np.formbuffer里offset参数设置的原因请参照下图：

下载完成后，我们在程序中看一下其前16张图片是什么样子的。需要使用到绘图库matplotlib.pyplot

import matplotlib.pyplot as plt # 画图库
from load_data import save_dataset,load_data # 加载数据集的

save_dataset()

x_train_set,x_test_set,y_train_set,y_test_set = load_data()

# 查看前16张图片
for i in range(16):
A = x_train_set[i].reshape(28,28)
Y = y_train_set[i]
plt.subplot(4,4,1+i)
plt.axis("off")
plt.imshow(A,cmap=plt.cm.gray)

输出应该是这个样子的：

网络详解

网络结构

Lenet-5是一个七层网络，两层卷积，两层池化，三层全连接，输出数据用softmax进行处理。其架构如下图所示：

网络是这样预测单张图片的：

首先，我们将图片归一化下采样为28×28，之后进行卷积操作，将一张28×28的图片卷积成6张24×24的图片。在这一步中，图片的大小减少了，但深度增加了，直观理解就是“特征”更强了。之后进行最大池化，过滤掉相对不重要的像素，得到6张12×12的图片。在进行一遍相似的卷积和池化操作，最终得到16张4×4的图片。将这16张图片拉成一个向量，进行全连接层操作，得到120->84->10的向量，再经过softmax层进行预测，得到预测结果。

我们要训练的参数是卷积核。每一层的卷积核都是5X5的，通过对卷积核的参数值进行学习，我们最终会获得一组合适的卷积核，用它们进行卷积可以让网络的预测准确值稳定在98%左右。

训练流程

在目前的神经网络中，参数的更新按照如下算法迭代：

1. 初始化卷积核和偏置
2. 利用初始化的参数前向传播
3. 计算损失
4. 反向传播，更新参数

神经网络就是这样不断地进行前向传播，反向传播，更新参数，最终学习到合适的卷积核参数。当然，在每一步都有很多细节值得探讨，接下来我们将按照网络层的顺序进行讨论。

卷积层细节

要想明白卷积层在做什么，我们首先要明白卷积的概念。

卷积，一种特殊的线性运算。用这种运算代替传统的矩阵运算，会在数据成网格状（比如图片）时表现得更为出色。卷积，形象地说，就是用卷积核在图像上面框，框到地部分进行矩阵相乘运算。运算结束后，将卷积核按照步长滑动，继续进行卷积运算。

卷积层就在进行这样地运算。得益于python的灵活的切片,我们可以进行批处理，也不用写很复杂的代码实现卷积核的移动。

卷积计算的公式十分简单：
 y= Wx+b\ y=\ Wx+b y= Wx+b
需要注意的是其中进行的都是矩阵运算。

但是，为什么我们要使用卷积层进行该操作？卷积层复杂化了整个运算过程，而直接使用全连接层会大大提高运算效率。一个简单的三层全连接层网络训练速度很快，并且准确率也不低。对于这个问题，我的理解是：卷积操作可以识别到图像特征的相对位置而不是绝对位置。图片会发生平移，旋转，而卷积层拥有平移不变性和旋转不变性。卷积层可以处理的图像更为特殊，学习到的特征更为稳定，准确率的上限更高。下面的gif显示了卷积层学习到的特征图的旋转不变性。

Click here to see an amazing gif

激活层细节

在进行完每一层的运算后，都要通过激活函数。激活函数的作用是让网络有能力处理非线性的分类关系。因为不管是卷积运算还是全连接层，其本质都是在进行向量或矩阵的相乘，是线性的。

本例中使用的ReLu激活函数，其作用是过滤掉小于零的数，让神经网络不再线性。其函数图像及表达式如下：
f(x)=max⁡(0,x)f(x)=\max(0,x)f(x)=max(0,x)

池化层细节

池化层的工作是剔除掉不重要的像素。不进行池化操作，运算量就会过大，拖慢训练进度。通过池化，我们可以过滤掉原图像的噪声和一些小的畸变。

最大池化就是下采样的过程。给定池化核（lenet-5中是2×2），在池化核框定的范围内取最大值并保留，将其他值丢弃。经过池化操作之后，图片的大小将减半。

梯度下降

网络在前向传播结束后，会进行反向传播来更新参数。更新的方法是梯度下降。

梯度下降，就是让参数向最小化损失函数的方向移动。损失函数可以想象成一个山群，谷底是损失函数的最小值。梯度下降就是计算参数当前所有的梯度，并沿着梯度最大的方向向下走。这样，参数会慢慢地收敛到谷底，让损失函数最小，取得最优解。在lenet-5中应用的不是单纯的梯度下降，而是带动量的随机梯度下降算法，这能让梯度更快地收敛到最优解，并减少震荡。

普通的梯度下降算法的公式如下：

W=W−lr∗▽WW=W-lr\ast\bigtriangledown WW=W−lr∗▽W

其中，lr是学习率。这个超参数决定了损失函数最终的收敛效果。学习率太大可能会导致损失函数冲出谷底，造成损失函数不降反升，学习率太小会导致损失函数下降地很慢，增大迭代次数。学习率是神经网络地一个十分重要的参数，在对网络的进一步优化中，会使用学习率衰减或自适应学习率来加快收敛，减少震荡。

损失函数

进行前向传播之后，我们要得到损失函数。得到损失函数的方法是负对数似然估计（NLL）和softmax回归。

经过神经网络的一次前向传播之后，我们得到了一组（1，10）的向量，分别代表每张图属于0-9中的每个数字的概率大小。数字越大，这张手写体图片所写的就越可能是那个数字。这时，我们的神经网络经过一次迭代，准确度一定不高，我们不希望直接在这里取最大值，从而忽略掉图片是其他数字的可能性。所以使用softmax回归，令较大的数有较大概率被取到。

Softmax细节

Softmax的公式如下：

Si= exi∑exS_i=\ \frac{e^{x_i}}{\sum e^x}Si​= ∑exexi​​

这个公式的直观理解如下：

假设我们有一个向量[3,1,-3],将这组向量传入softmax层进行前向传播，我们会得到约等于[0.88,0.12,0]这样的向量。注意到，各分量的和为1，这是公式决定的。这样，这个向量就可以表示取到0，1，2各个值的概率了。

经过softmax层之后，我们得到了一组概率。之后利用这组概率，我们计算损失。

NLL细节

我们希望我们的网络尽可能准确，故我们的损失要越小越好。损失函数的公式定义如下：

L= −ln⁡ML=\ -\ln{M}L= −lnM

其中，M为这组概率的真实值位置对应的分量。

假设我的概率为[0.2，0.3，0.1，0.01，0.19]，分别对应[0，1，2，3，4]这几个类别。我的真实值为类别2，我希望我的损失函数尽可能小，由于-lnM是单调递减的函数，于是M的值要尽可能地大。由于M是一组概率，所以它不会超过1，也意味着L的最小值不会低于0.在这个简单例子中，损失为-ln(0.1)，是一个相对比较大的数字。想让L接近0，就必须让对应真实值位置的概率接近1。于是最大似然损失估计能够真实地反映网络对训练集地预测情况。

总结

至此，lenet-5网络结构梳理解释完毕。其中涉及到一些数学公式，也尽量做了通俗易懂的解释。

Lenet-5卷积神经网络结构详解（二）——代码详述
Lenet-5卷积神经网络结构详解（三）——优化方案

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