原文作者：aircraft

原文链接：https://www.cnblogs.com/DOMLX/p/12166896.html

 

 

为什么引入齐次坐标的变换矩阵可以表示平移呢？ - Yu Mao的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/26655998/answer/43847213为什么引入齐次坐标的变换矩阵可以表示平移呢？ - Yu Mao的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/26655998/answer/43847213

在opengl里面涉及到了许多的计算机图形学的知识，当然也涉及到了许多矩阵运算类的知识，基本都是在线性代数里面学过的。

 

就比如opengl里面的平移函数glTranslatef（x,y,z），

其作用就是将你绘点坐标的原点在当前原点的基础上平移一个(x,y,z)向量。

就是让当前点与一个平移矩阵相乘来求得最终矩阵，来进行平移

 

那么就要先从矩阵乘法开始

 一.矩阵乘法：

若要把矩阵与矩阵相乘，我们要计算行与列的"点积"……这是什么意思？我们来看个例子：

求 第一行 和 第一列 的答案：

 

 

 

 

"点积" 是把 对称的元素相乘，然后把结果加起来：

(1, 2, 3) • (7, 9, 11) = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58

我们把第一个元素相配（1 和 7），然后相乘。第二个元素（2 和 9） 和第三个元素（3 和 11）也一样，然后把结果加起来。

想多看一个例子？这是第一行与第二列：

 

 

 

 

(1, 2, 3) • (8, 10, 12) = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 64

第二行 和 第一列也同样做：

(4, 5, 6) • (7, 9, 11) = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 139

第二行 和 第二列：

(4, 5, 6) • (8, 10, 12) = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 154

我们得到：

 

 

 

 

二.矩阵的线性变换以及glTranslatef(x,y,z)函数详解

　　对于opengl的glTranslatef(x,y,z)函数就是依靠线性变换来进行平移操作的，

其作用就是将你绘点坐标的原点在当前原点的基础上平移一个(x,y,z)向量。

就是让当前点与一个平移矩阵相乘来求得最终矩阵，来进行平移

 

任意线性变换都可以用矩阵表示为易于计算的一致形式，并且多个变换也可以很容易地通过矩阵的相乘连接在一起。 线性变换不是唯一可以用矩阵表示的变换。R维的仿射变换与透视投影都可以用齐次坐标表示为RP维（即n+1 维的真实投影空间）的线性变换。因此，在三维计算机图形学中大量使用着 4x4 的矩阵变换。 　　在opengl中就经常用到仿射变换的形式。

　　仿射变换：为了表示仿射变换，需要使用齐次坐标，即用三向量 (x,y, 1) 表示二向量，对于高维来说也是如此。按照这种方法，就可以用矩阵乘法表示变换。规定：x' =x+tx;y' =y+ty。在矩阵中增加一列与一行，除右下角的元素为 1 外其它部分填充为 0，通过这种方法，所有的线性变换都可以转换为仿射变换。通过这种方法，使用与前面一样的矩阵乘积可以将各种变换无缝地集成到一起。当使用仿射变换时，其次坐标向量w从来不变，这样可以把它当作为 1。　

　　在矩阵的初等变换中，矩阵的左乘代表着行变换，TA=B。 
矩阵的右乘相当于列变换， AT=C。

 

　　当三维坐标发生旋转、平移时，就需要考虑到矩阵是左乘还是右乘。 
设有旋转矩阵R，平移矩阵T， 坐标矩阵A。

-若是绕着静态的世界坐标系旋转，有RA，即左乘旋转矩阵 
- 若是绕着动态的自身坐标系旋转，有A’R’， 即右乘旋转矩阵

 

这个意思就是 我们先glTranslatef(x,y,z)移动后旋转的话，那么就是物体先移动 然后绕着自身旋转也是绕自身坐标系旋转。先旋转 在移动 那么就是绕世界坐标系旋转了

　　好接下来介绍一下矩阵平移

 

举个二维点移动的例子：

设某点向x方向移动 dx, y方向移动 dy ,[x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。

 

则 X = x+dx;  Y = y+dy;

 

然后其中的矩阵运算过程是：我们先将（x,y）点坐标转化为其次坐标（x,y,1）这是在计算机图形学中经常用到的（不知道为什么要转换为齐次坐标后面会讲）

那么就可以得到：

 

 

 

                            [ 1    0    0 ]

 

[X, Y, 1] = [x, y, 1][ 0    1    0 ] ; 

 

                            [ dx  dy  1 ]

 

这个时候X = x+dx;  Y = y + dy； 是不是就实现了坐标的移动？？？

hhhh    没看懂的话把上面的矩阵乘法在看一次 动动手，写两笔就出来的东西不要一直想

 

那么在举个三维点移动的例子：

同样的 先（x,y，z）点坐标转化为其次坐标（x,y,z,1） 然后变换后的（X，Y，Z）不就是等于（x,y,z,1）乘以下图的变换矩阵吗？？？

 

 

 

动动手用矩阵乘法得出：X = x+dx;  Y = y + dy；Z = z + dz;    不就移动好了吗？？？？

 

需要特别注意的是在opengl中

的矩阵采用列优先存储，矩阵表示如下

 

 

 

 

那么刚才为什么要转化齐次坐标？？

我们可以看这篇博客：其次坐标的理解

我摘抄主要的部分在下面了：

“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换

 

对于一个向量v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c          （1）

 而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c            （2），

 

从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个点（如p），我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p – o（有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)

 

(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7)，谁知道它是个向量还是个点！

    我们现在把（1）（3）写成矩阵的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)

p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：3D向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。

 

这样，上面的(1, 4, 7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换：

(1)从普通坐标转换成齐次坐标时

   如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);

   如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)

(2)从齐次坐标转换成普通坐标时   

   如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);

   如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)

 

以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概念，只有大小和方向.

 

而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。

 

此外，对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4个分量。

 

 为什么引入齐次坐标可以表示平移？

 

首先我们用一个矢量来表示空间中一个点：
如果我们要将其平移，平移的矢量为：
那么正常的做法就是：

如果不引入齐次坐标，单纯采用3X3矩阵乘法来实现平移
你想做的就是找到一个矩阵 ，使得

然后你就会发现你永远也找不到这样的矩阵

所以我们需要新引入一个维度，原来
那么我们可以找到一个4X4的矩阵来实现平移




现在，就有：

 

三.矩阵实现旋转以及glRotatef(angle,x,y,z)函数详解

　　函数原型：glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)

该函数用来设置opengl中绘制实体的自转方式，即物体如何旋转

参数说明：

angle：旋转的角度，单位为度；

x,y,z表示绕着那个轴旋转，如果取值都为0，则表示默认的绕x轴逆时针旋转。

x,y为0，z不为0时，表示绕z轴旋转；x,z为0，y不为0时，表示绕y轴旋转；y,z为0，x不为0，表示绕x轴旋转。

旋转的逆顺时针是通过x，y，z值得正负来确定的：取值为正时，表示逆时针旋转；取值为负时，表示顺时针旋转。

例：glRotatef(30,0,-1,0)；

表示绕y轴顺时针方向旋转30度。

关于逆时针与顺时针，可用右手定则：

即手握住某个坐标轴，大拇指指向某轴的正方向，其余四个手指的弯曲方向即为绕某轴旋转的逆时针方向；反之为顺时针方向。

 

 

 好，看完了函数  我们接下来理解一下矩阵的旋转 当然也包括图形的旋转。。。。

 

二维极坐标系 情况如下：

 

 

 

上面是二维的情况，那么我直接想象这是三维的 z轴指向屏幕外，可以上面不就是在三维空间  绕Z轴旋转的情况吗 也就是在XOY面移动  就只改变了x,y坐标 

 

 

于是可得下面的转换方程

 

（式一）

 

写成矩阵的形式就是（不理解看 第一步的矩阵乘法知识 在不会敲爆你的狗头！！！）

 

 

求得旋转矩阵为

 

 

由于这里使用齐次坐标，所以还需加上一维，最终变成如下形式

 

 

这样就得到了三维空间中绕Z轴旋转的 旋转矩阵式

 

对于绕X轴旋转的情况，我们只需将式一中的x用y替换，y用z替换，z用x替换即可。替换后得到

(式二)

对应的旋转矩阵为

绕X轴旋转矩阵

 

 

对于绕Y轴旋转的情况，只需对式二做一次同样的替换即可，的到的变换方程为

对应的变换矩阵为

绕Y轴旋转矩阵

 

 

四.如何绕任意轴旋转以及怎么用glRotatef(angle,x,y,z)绕任意轴旋转

　

绕通过原点的任意旋转轴的旋转是：
    glRotatef(theta, vx, vy, vx)
其中vx，vy，vz用与定义通过坐标原点的旋转轴的方向，theta用于指定旋转角度。
如果旋转轴不在原点，可以先用glTranslatef(tx, ty, tz)将旋转轴平移到原点，调用上述函数旋转完成后再平移回原来的地方：glTranslatef(-tx, -ty, -tz)

 

至于为什么呢 已经有大佬的博客写过整个推导过程 直接推荐给你们：

 

绕任意轴旋转

 

博客地址是：https://www.geek-share.com/detail/2555561600.html

 

当然为了大家方便看 我直接摘抄主要过来如下：

 

 

绕任意轴旋转的情况比较复杂，主要分为两种情况，一种是平行于坐标轴的，一种是不平行于坐标轴的，对于平行于坐标轴的，我们首先将旋转轴平移至与坐标轴重合，然后进行旋转，最后再平移回去。

 

• 将旋转轴平移至与坐标轴重合，对应平移操作
• 旋转，对应操作
• 步骤1的逆过程，对应操作

 

整个过程就是

 

 

对于不平行于坐标轴的，可按如下方法处理。（该方法实际上涵盖了上面的情况）

 

1. 将旋转轴平移至原点
2. 将旋转轴旋转至YOZ平面
3. 将旋转轴旋转至于Z轴重合
4. 绕Z轴旋转θ度
5. 执行步骤3的逆过程
6. 执行步骤2的逆过程
7. 执行步骤1的逆过程

 

假设用v1(a1, b2, c2)和v2(a2, b2, c2)来表示旋转轴，θ表示旋转角度。为了方便推导，暂时使用右手系并使用列向量，待得出矩阵后转置一下即可，上面步骤对应的流程图如下。

 

 

步骤1是一个平移操作，将v1v2平移至原点，对应的矩阵为

 

 

步骤2是一个旋转操作，将p(p = v2 -v1)旋转至XOZ平面，步骤3也是一个旋转操作，将p旋转至与Z轴重合，这两个操作对应的图如下。

 

 

做点p在平面YOZ上的投影点q。再过q做Z轴垂线，则r是p绕X轴旋转所得，且旋转角度为α，且

 

,   

 

于是旋转矩阵为

 

 

现在将r绕Y轴旋转至与Z轴重合，旋转的角度为-beta（方向为顺时针），且

 

,    

 

于是得到旋转矩阵为

 

 

最后是绕Z轴旋转，对应的矩阵如下

 

 

如果旋转轴是过原点的，那么第一步和最后一步的平移操作可以省略，也就是把中间五个矩阵连乘起来，再转置一下，得到下面的绕任意轴旋转的矩阵（这里要注意自己的opengl中是列向量还是行向量 需不要转置这个问题  列向量就不需要转置这一步了）

 

 

即

 

 

 

 

 

如果旋转轴是不过原点的，那么第一步和最后一步就不能省略，将所有七个矩阵连乘起来，得到如下变换矩阵

 

 

对应如下这个超长的矩阵，在这里(u, v, w) = (a2, b2, c2) - (a1, b1, c1)，且是单位向量，a, b, c分别表示(a1, b1, c1)

 

 

 

 

 

五.结合OpenGL来进行

 

• 假如此时我们要让自己的图形原点中心旋转：

　　那么直接调用  glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z) 即可  不断旋转的话 就直接把angle在其他循环函数中不断加一对360取余数就行了

 

• 假如此时我们要让自己的图形在（x,y,z）位置绕自身中心旋转：

　　那么直接调用glTranslatef（x,y,z）先将物体移动，然后在调用 glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)

 

 

• 假如此时我们要让自己的图形在（x,y,z）位置绕世界坐标系旋转：

　　那么就是先旋转在移动，先调用 glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)，然后在移动到位置 glTranslatef（x,y,z）这也是先移动在旋转  和先旋转在移动的区别，一个绕自身中心旋转，一个绕世界坐标系旋转

　　此时的 glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)函数中的 x,y,z 就是一个轴向量了   绕哪个轴旋转的意思      x = 1，y = 0; z = 0;那么就是绕X轴旋转 其他同理  即手握住某个坐标轴，大拇指指向某轴的正方向，其余四个手指的弯曲方向即为绕某轴旋转的逆时针方向；反之为顺时针方向。

 

 

 

 

 

参考博客：https://blog.csdn.net/zbq_tt5/article/details/90046527

 　　　　  https://www.geek-share.com/detail/2439826460.html

 　　　　  https://www.zhihu.com/question/26655998/answer/43847213

　　　　   https://blog.csdn.net/yangmeng900816/article/details/46816007　　

　　　　   https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2012/08/08/2609005.html

 

 

 

 

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