SGD简介

caffe中的SGDSolver类中实现了带动量的梯度下降法，其原理如下，$lr$为学习率，$m$为动量参数。

1. 计算新的动量：

   history_data = local_rate * param_diff + momentum * history_data

   
   $\nu_{t+1}=lr\nabla_{\theta_{t}}+m\nu_{t}$
2. 计算更新时使用的梯度：

   param_diff = history_data

   
   $\Delta\theta_{t+1}=\nu_{t+1}$
3. 应用更新：

   param_data = param_data - param_diff

   
   $\theta_{t+1}=\theta_{t}-\Delta\theta_{t+1}$

步骤1和步骤2均在SGDSolver类的

ComputeUpdateValue()

NAG(Nesterov Accelerated Gradient)简介

NAG算法在NesterovSolver类中实现，NAG与SGD相比唯一区别在于梯度的计算上。如上，SGD使用的梯度是参数$\theta_{t}$在当前位置的梯度$\nabla_{\theta_{t}}$，而NAG中使用的是当前参数$\theta_{t}$在施加了动量之后的位置的梯度$\nabla_{(\theta_{t}-m*\nu_{t})}$，其原理为：

1. 应用临时更新：$\tilde{\theta}{t+1}=\theta{t}-m*\nu_{t}$
2. 计算该位置的梯度：$\nabla_{\tilde{\theta}_{t+1}}$
3. 计算新的动量：$\nu_{t+1}=lr*\nabla_{\tilde{\theta}_{t+1}}+m*\nu_{t}$
4. 得到更新时使用的梯度：$\Delta\theta_{t+1}=\nu_{t+1}$
5. 应用更新：$\theta_{t+1}=\theta_{t}-\Delta\theta_{t+1}$

网络上有一张常见的图用于表示SGD和NAG的过程。

对于SGD算法，蓝色向量$p_{1}$为当前参数$\theta_{t}$在该位置的梯度$lr\nabla_{\theta_{t}}$，蓝色向量$p_{2}$为动量$m\nu_{t}$，而$p_{1}+p_{2}$即为参数一次的更新量$\Delta\theta_{t+1}$。
对于NAG算法，$O_{1}$为参数$\theta_{t}$的初始位置，棕色向量$p_{3}=p_{2}$，先计算运用动量后的参数$\tilde{\theta}{t+1}$的位置$O{2}$，然后计算该位置梯度$\nabla_{\tilde{\theta}{t+1}}$，即为图中的红色向量$p{4}$，而$p_{5}=p_{3}+p_{4}$即为参数一次的更新量$\Delta\theta_{t+1}=\nu_{t+1}$。之后仿照该步骤计算下一次迭代的动量$m*\nu_{t+1}$（棕色向量$p_{6}$）和梯度$\nabla_{\tilde{\theta}{t+2}}$（红色向量$p{7}$），得到更新量$p_{8}$。

NAG算法的原理还是很好理解的，但是实现起来却有一个非常难理解的地方，即如何计算参数临时更新位置的梯度$\nabla_{\tilde{\theta}{t+1}}$？神经网络这种复杂的系统中想要根据当前位置的梯度$\nabla{\theta_{t}}$来估算另一位置的梯度$\nabla_{\tilde{\theta}{t+1}}$几乎是不可能的。网络上关于该算法的实现细节非常少，不过结合caffe代码和其他的开源代码等，可以判断出，NAG算法每次迭代时保存的参数是临时参数$\tilde{\theta}{t+1}$（位置$O_{2}$），而非初始$O_{1}$位置处的参数$\theta_{t}$，这样每次反向传播计算出的梯度实际上就是红色向量$p_{4}$。然后每次更新时，会根据动量$p_{3}$先将参数从位置$O_{2}$退回$O_{1}$，然后计算得到一次迭代的更新量$p_{5}$，使参数更新$\theta_{t+1}$（位置$O_{3}$），并保存下一次迭代时需要使用的临时参数$\tilde{\theta}{t+2}$（位置$O{4}$）。

nesterov_solver.cpp源码

//根据当前迭代次数对应的学习率rate,计算网络中第param_id个可学习参数在更新时使用的梯度
template <typename Dtype>
void NesterovSolver<Dtype>::ComputeUpdateValue(int param_id, Dtype rate) {
const vector<Blob<Dtype>*>& net_params = this->net_->learnable_params();  //网络中的所有可学习参数
const vector<float>& net_params_lr = this->net_->params_lr();   //网络中每个参数对应的学习率系数
Dtype momentum = this->param_.momentum();                       //求解器设置的动量
Dtype local_rate = rate * net_params_lr[param_id];              //得到当前参数对应的学习率
switch (Caffe::mode()) {
case Caffe::CPU: {    //CPU模式
// save history momentum for stepping back
caffe_copy(net_params[param_id]->count(), this->history_[param_id]->cpu_data(),
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());   //将历史数据history_拷贝至update_中,update_data = history_data

// update history     //history_data = local_rate * net_params_diff + momentum * history_data
caffe_cpu_axpby(net_params[param_id]->count(), local_rate, net_params[param_id]->cpu_diff(), momentum,
this->history_[param_id]->mutable_cpu_data());

// compute update: step back then over step   //update_data = (1 + momentum) * history_data + (-momentum) * update_data
caffe_cpu_axpby(net_params[param_id]->count(), Dtype(1) + momentum,
this->history_[param_id]->cpu_data(), -momentum,
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());

// copy   //net_params_diff = update_data
caffe_copy(net_params[param_id]->count(), this->update_[param_id]->cpu_data(),
net_params[param_id]->mutable_cpu_diff());
break;
}
case Caffe::GPU: {
#ifndef CPU_ONLY
// gpu的操作同理
// h_temp = history_data
// history_data = momentum * h_temp + local_rate * net_params_diff
// net_params_diff = (1+momentum) * history_data - momentum * h_temp
nesterov_update_gpu(net_params[param_id]->count(), net_params[param_id]->mutable_gpu_diff(),
this->history_[param_id]->mutable_gpu_data(), momentum, local_rate);
#else
NO_GPU;
#endif
break;
}
default:
LOG(FATAL) << "Unknown caffe mode: " << Caffe::mode();
}
}

对应上述的说明，代码中的各步操作为：

1. 当前迭代的动量$\nu_{t}$：

   update_data = history_data

2. net_params_diff

   为临时位置的参数的梯度$\nabla_{\tilde{\theta}{t+1}}$，计算新的动量：

   history_data = local_rate * net_params_diff + momentum * history_data

   
   $\nu{t+1}=lr*\nabla_{\tilde{\theta}_{t+1}}+m*\nu_{t}$
3. 计算下一次迭代的临时参数相对于当前临时参数的更新量$\Delta\tilde{\theta}{t+2}$：

   update_data = (1 + momentum) * history_data + (-momentum) * update_data

   
   $\Delta\tilde{\theta}{t+2}=(1+m)\nu_{t+1}-m\nu_{t}$
   注意，当前临时参数在位置$O_{2}$，需要减去向量$p_{3}$（$p_{3}=m\nu_{t}$），再加上向量$p_{5}$和$p_{6}$（$p_{5}=\nu_{t+1}，p_{6}=m\nu_{t+1}$）才能得到新的临时位置$O_{4}$。
4. 保存参数更新量：

   net_params_diff = update_data

5. 应用更新：$\tilde{\theta}{t+2}=\tilde{\theta}{t+1}-\Delta\tilde{\theta}_{t+2}$

AdaGrad简介

AdaGrad算法通过缩放每个参数反比于其所有梯度历史平方值总和的平方跟，可使得具有较大梯度的参数能够快速下降，使具有小偏导的参数能够缓慢下降。
其原理如下，初始累积变量$r=0$，$\delta$为较小常数，防止除法除数过小而不稳定。

1. 累加平方梯度（$\odot$为逐元素点乘）：$r_{t+1}=r_{t}+\nabla_{\theta_{t}}\odot\nabla_{\theta_{t}}$
2. 计算梯度的更新量：$\Delta\theta_{t+1}=\frac{lr}{\delta+\sqrt{r_{t+1}}}\odot\nabla_{\theta_{t}}$
3. 应用更新：$\theta_{t+1}=\theta_{t}-\Delta\theta_{t+1}$

adagrad_solver.cpp源码

template <typename Dtype>
void AdaGradSolver<Dtype>::ComputeUpdateValue(int param_id, Dtype rate) {
const vector<Blob<Dtype>*>& net_params = this->net_->learnable_params();
const vector<float>& net_params_lr = this->net_->params_lr();
Dtype delta = this->param_.delta();
Dtype local_rate = rate * net_params_lr[param_id];
switch (Caffe::mode()) {
case Caffe::CPU: {
// compute square of gradient in update
caffe_powx(net_params[param_id]->count(),
net_params[param_id]->cpu_diff(), Dtype(2),
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());   //update_data = net_params ^ 2

// update history
caffe_add(net_params[param_id]->count(),
this->update_[param_id]->cpu_data(),
this->history_[param_id]->cpu_data(),
this->history_[param_id]->mutable_cpu_data());  //history_data = update_data + history_data

// prepare update
caffe_powx(net_params[param_id]->count(), this->history_[param_id]->cpu_data(), Dtype(0.5),
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());   //update_data = history_data ^ 0.5

caffe_add_scalar(net_params[param_id]->count(),
delta, this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());  //update_data += delta

caffe_div(net_params[param_id]->count(),
net_params[param_id]->cpu_diff(),
this->update_[param_id]->cpu_data(),
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());   //update_data = net_params_diff / update_data

// scale and copy
caffe_cpu_axpby(net_params[param_id]->count(), local_rate,
this->update_[param_id]->cpu_data(), Dtype(0),
net_params[param_id]->mutable_cpu_diff());    //net_params_diff = local_rate * update_data + 0 * net_params_diff
break;
}
case Caffe::GPU: {    //gpu操作同理
#ifndef CPU_ONLY
// gi = net_params_diff;
// hi = history_data = history_data + gi*gi;
// net_params_diff = local_rate * gi / (sqrt(hi) + delta);
adagrad_update_gpu(net_params[param_id]->count(),
net_params[param_id]->mutable_gpu_diff(),
this->history_[param_id]->mutable_gpu_data(), delta, local_rate);
#else
NO_GPU;
#endif
break;
}
default:
LOG(FATAL) << "Unknown caffe mode: " << Caffe::mode();
}
}

AdaGrad/RMSProp/AdaDelta/Adam算法的caffe代码很容易找到对应的公式，不再详细介绍。

RMSProp简介

RMSProp算法在AdaGrad基础上增加一个衰减系数$\rho$，以便将很早之前的历史梯度数据丢弃。
其原理如下，初始累积变量$r=0$，$\delta$同样为较小常数。

1. 累加平方梯度：$r_{t+1}=\rhor_{t}+(1-\rho)\nabla_{\theta_{t}}\odot\nabla_{\theta_{t}}$
2. 计算梯度的更新量：$\Delta\theta_{t+1}=\frac{lr}{\delta+\sqrt{r_{t+1}}}\odot\nabla_{\theta_{t}}$
3. 应用更新：$\theta_{t+1}=\theta_{t}-\Delta\theta_{t+1}$

rmsprop_solver.cpp源码

template <typename Dtype>
void RMSPropSolver<Dtype>::ComputeUpdateValue(int param_id, Dtype rate) {
const vector<Blob<Dtype>*>& net_params = this->net_->learnable_params();  //所有可学习参数
const vector<float>& net_params_lr = this->net_->params_lr();     //参数对应的学习率系数
// get the learning rate
Dtype delta = this->param_.delta();                   //常数delta
Dtype rms_decay = this->param_.rms_decay();           //衰减速率
Dtype local_rate = rate * net_params_lr[param_id];    //参数对应的学习率

switch (Caffe::mode()) {
case Caffe::CPU:
// compute square of gradient in update
caffe_powx(net_params[param_id]->count(), net_params[param_id]->cpu_diff(), Dtype(2),
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());   //update_data = net_params_diff ^ 2

// update history       //history_data = (1-rms_decay) * update_data + rms_decay * history_data
caffe_cpu_axpby(net_params[param_id] -> count(), Dtype(1-rms_decay), this->update_[param_id]->cpu_data(),
rms_decay, this->history_[param_id]-> mutable_cpu_data());

// prepare update
caffe_powx(net_params[param_id]->count(), this->history_[param_id]->cpu_data(), Dtype(0.5),
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());   //update_data = history_data ^ 0.5

caffe_add_scalar(net_params[param_id]->count(),
delta, this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());    //update_data += delta

//update_data = net_params_diff / update_data
caffe_div(net_params[param_id]->count(), net_params[param_id]->cpu_diff(),
this->update_[param_id]->cpu_data(), this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());

// scale and copy
caffe_cpu_axpby(net_params[param_id]->count(), local_rate,
this->update_[param_id]->cpu_data(), Dtype(0),
net_params[param_id]->mutable_cpu_diff());  //net_params_diff = local_rate * update_data + 0 * net_params_diff
break;
case Caffe::GPU:
#ifndef CPU_ONLY
// g = net_params_diff
// h = history_data
// gi = g[i];
// hi = h[i] = rms_decay*h[i] + (1-rms_decay)*gi*gi;
// g[i] = local_rate * g[i] / (sqrt(hi) + delta);
rmsprop_update_gpu(net_params[param_id]->count(),
net_params[param_id]->mutable_gpu_diff(),
this->history_[param_id]->mutable_gpu_data(),
rms_decay, delta, local_rate);
#else
NO_GPU;
#endif
break;
default:
LOG(FATAL) << "Unknown caffe mode: " << Caffe::mode();
}
}

AdaDelta简介

AdaDelta也像RMSProp算法一样在AdaGrad基础上增加一个衰减系数$\rho$，并且还额外维护一个状态量$x$。
其原理如下，初始累积变量$x=0, r=0$，$\delta$同样为较小常数。

1. 累加平方梯度：$r_{t+1}=\rhor_{t}+(1-\rho)\nabla_{\theta_{t}}\odot\nabla_{\theta_{t}}$
2. 计算不带学习率的梯度的更新量：$\Delta\tilde{\theta}{t+1}=\sqrt{\frac{x{t}+\delta}{r_{t+1}+\delta}}\odot\nabla_{\theta_{t}}$
3. 更新状态量：$x_{t+1}=\rhox_{t}+(1-\rho)\Delta\tilde{\theta}{t+1}\odot\Delta\tilde{\theta}{t+1}$
4. 计算带学习率的梯度的更新量：$\Delta\theta_{t+1}=lr*\Delta\tilde{\theta}_{t+1}$
   与参考 4中的说明不同，caffe代码中仍然有使用学习率$lr$。
5. 应用更新：$\theta_{t+1}=\theta_{t}-\Delta\theta_{t+1}$

adadelta_solver.cpp源码

template <typename Dtype>
void AdaDeltaSolver<Dtype>::AdaDeltaPreSolve() {        //AdaDeltaSolver类在构造时会调用该函数
// Add the extra history entries for AdaDelta after those from SGDSolver::PreSolve
const vector<Blob<Dtype>*>& net_params = this->net_->learnable_params();  //当前网络中的所有可学习参数
for (int i = 0; i < net_params.size(); ++i) {
const vector<int>& shape = net_params[i]->shape();  //第i个可学习参数的形状
//在SGDSolver<Dtype>::PreSolve中history_已经存入一个与参数blob相同形状的空blob,此处再存入一个
this->history_.push_back(shared_ptr<Blob<Dtype> >(new Blob<Dtype>(shape)));
}
}

#ifndef CPU_ONLY
template <typename Dtype>
void adadelta_update_gpu(int N, Dtype* g, Dtype* h, Dtype* h2, Dtype momentum,
Dtype delta, Dtype local_rate);
#endif

template <typename Dtype>
void AdaDeltaSolver<Dtype>::ComputeUpdateValue(int param_id, Dtype rate) {
const vector<Blob<Dtype>*>& net_params = this->net_->learnable_params();  //网络中的所有可学习参数
const vector<float>& net_params_lr = this->net_->params_lr();     //每个参数对应的学习率系数
Dtype delta = this->param_.delta();                   //AdaDelta方法中的一个参数
Dtype momentum = this->param_.momentum();             //动量系数
Dtype local_rate = rate * net_params_lr[param_id];    //得到当前参数对应的学习率
size_t update_history_offset = net_params.size();     //网络的参数个数
//history_在AdaDeltaPreSolve()中又存入了一次与所有参数形状相同的空blob,下面将
//history_[param_id]表示成 history_former, history_[update_history_offset + param_id]表示成 history_latter
switch (Caffe::mode()) {
case Caffe::CPU: {
// compute square of gradient in update
caffe_powx(net_params[param_id]->count(), net_params[param_id]->cpu_diff(), Dtype(2),
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());       //update_data = net_params_diff ^ 2

// update history of gradients    //history_former_data = (1 - momentum) * update_data + momentum * history_former_data
caffe_cpu_axpby(net_params[param_id]->count(), Dtype(1) - momentum, this->update_[param_id]->cpu_data(),
momentum, this->history_[param_id]->mutable_cpu_data());

// add delta to history to guard against dividing by zero later
caffe_set(net_params[param_id]->count(), delta,
this->temp_[param_id]->mutable_cpu_data());     //temp_中每个元素都置为delta, temp_data = delta

caffe_add(net_params[param_id]->count(),
this->temp_[param_id]->cpu_data(),
this->history_[update_history_offset + param_id]->cpu_data(),
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());   //update_data = temp_data + history_latter_data

caffe_add(net_params[param_id]->count(),
this->temp_[param_id]->cpu_data(),
this->history_[param_id]->cpu_data(),
this->temp_[param_id]->mutable_cpu_data()); //temp_data = temp_data + history_former_data

// divide history of updates by history of gradients
caffe_div(net_params[param_id]->count(),
this->update_[param_id]->cpu_data(),
this->temp_[param_id]->cpu_data(),
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());   //update_data = update_data / temp_data

// jointly compute the RMS of both for update and gradient history
caffe_powx(net_params[param_id]->count(),
this->update_[param_id]->cpu_data(), Dtype(0.5),
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());   //update_data = update_data ^ 0.5

// compute the update
caffe_mul(net_params[param_id]->count(),
net_params[param_id]->cpu_diff(),
this->update_[param_id]->cpu_data(),
net_params[param_id]->mutable_cpu_diff());  //net_params_diff = net_params_diff * update_data

// compute square of update
caffe_powx(net_params[param_id]->count(),
net_params[param_id]->cpu_diff(), Dtype(2),
this->update_[param_id]->mutable_cpu_data());   //update_data = net_params_diff ^ 2

// update history of updates    //history_latter_data = (1 - momentum) * update_data + momentum * history_latter_data
caffe_cpu_axpby(net_params[param_id]->count(), Dtype(1) - momentum,
this->update_[param_id]->cpu_data(), momentum,
this->history_[update_history_offset + param_id]->mutable_cpu_data());

// apply learning rate
caffe_cpu_scale(net_params[param_id]->count(), local_rate,
net_params[param_id]->cpu_diff(),
net_params[param_id]->mutable_cpu_diff());  //net_params_diff = local_rate * net_params_diff
break;
}
case Caffe::GPU: {
#ifndef CPU_ONLY
// g = net_params_diff;
// h = history_former_data;
// h2 = history_latter_data;
// gi = g[i];
// hi = h[i] = momentum * h[i] + (1-momentum) * gi * gi;
// gi = gi * sqrt((h2[i] + delta) / (hi + delta));
// h2[i] = momentum * h2[i] + (1-momentum) * gi * gi;
// g[i] = local_rate * gi;
adadelta_update_gpu(net_params[param_id]->count(),
net_params[param_id]->mutable_gpu_diff(),
this->history_[param_id]->mutable_gpu_data(),
this->history_[update_history_offset + param_id]->mutable_gpu_data(),
momentum, delta, local_rate);
#else
NO_GPU;
#endif
break;
}
default:
LOG(FATAL) << "Unknown caffe mode: " << Caffe::mode();
}
}

Adam简介

Adam算法包含两个衰减参数$\rho_{1}$和$\rho_{2}$，一般$\rho_{1}=0.9, \rho_{2}=0.999$。还包含一阶矩和二阶矩变量$s, r$，时间步$t$。
初始时$s=0, r=0, t=0$，$\delta$同样为较小常数。

1. 更新一阶矩：$s_{t+1}=\rho_{1}s_{t}+(1-\rho_{1})\nabla_{\theta_{t}}$
2. 更新二阶矩：$r_{t+1}=\rho_{2}r_{t}+(1-\rho_{2})\nabla_{\theta_{t}}\odot\nabla_{\theta_{t}}$
3. 修正一阶矩的偏差：$\tilde{s}{t+1}=\frac{s{t+1}}{1-\rho_{1}^{t+1}}$
4. 修正二阶矩的偏差：$\tilde{r}{t+1}=\frac{r{t+1}}{1-\rho_{2}^{t+1}}$

5. 计算梯度的更新量：$\Delta\theta_{t+1}=lr*\frac{\tilde{s}{t+1}}{\sqrt{\tilde{r}{t+1}}+\delta}$

6. 应用更新：$\theta_{t+1}=\theta_{t}-\Delta\theta_{t+1}$

adam_solver.cpp源码

template <typename Dtype>
void AdamSolver<Dtype>::AdamPreSolve() {
// Add the extra history entries for Adam after those from SGDSolver::PreSolve
const vector<Blob<Dtype>*>& net_params = this->net_->learnable_params();  //所有可学习参数
for (int i = 0; i < net_params.size(); ++i) {
const vector<int>& shape = net_params[i]->shape();  //第i个可学习参数对应的形状
this->history_.push_back(shared_ptr<Blob<Dtype> >(new Blob<Dtype>(shape))); //history_再存入一个与参数大小相同的空blob
}
}

#ifndef CPU_ONLY
template <typename Dtype>
void adam_update_gpu(int N, Dtype* g, Dtype* m, Dtype* v, Dtype beta1,
Dtype beta2, Dtype eps_hat, Dtype corrected_local_rate);
#endif

template <typename Dtype>
void AdamSolver<Dtype>::ComputeUpdateValue(int param_id, Dtype rate) {
const vector<Blob<Dtype>*>& net_params = this->net_->learnable_params();  //所有可学习参数
const vector<float>& net_params_lr = this->net_->params_lr(); //参数的学习率系数
Dtype local_rate = rate * net_params_lr[param_id];            //当前参数的学习率
const Dtype beta1 = this->param_.momentum();    //两个动量系数
const Dtype beta2 = this->param_.momentum2();

// we create aliases for convenience
size_t update_history_offset = net_params.size();     //history_的大小为2 * update_history_offset
Blob<Dtype>* val_m = this->history_[param_id].get();
Blob<Dtype>* val_v = this->history_[param_id + update_history_offset].get();
Blob<Dtype>* val_t = this->temp_[param_id].get();

const int t = this->iter_ + 1;                //步数
const Dtype correction = std::sqrt(Dtype(1) - pow(beta2, t)) /
(Dtype(1.) - pow(beta1, t));              //correction = sqrt(1 - beta2 ^ t) / (1 - beta1 ^ t)
const int N = net_params[param_id]->count();  //参数的元素个数
const Dtype eps_hat = this->param_.delta();   //微小值

switch (Caffe::mode()) {
case Caffe::CPU: {
// update m <- \beta_1 m_{t-1} + (1-\beta_1)g_t
caffe_cpu_axpby(N, Dtype(1)-beta1, net_params[param_id]->cpu_diff(), beta1,
val_m->mutable_cpu_data()); //val_m = (1 - beta1) * net_params_diff + beta1 * val_m

// update v <- \beta_2 m_{t-1} + (1-\beta_2)g_t^2
caffe_mul(N, net_params[param_id]->cpu_diff(), net_params[param_id]->cpu_diff(),
val_t->mutable_cpu_data()); //val_t = net_params_diff * net_params_diff
caffe_cpu_axpby(N, Dtype(1)-beta2, val_t->cpu_data(), beta2,
val_v->mutable_cpu_data()); //val_v = (1 - beta2) * val_t + beta2 * val_v

// set update
caffe_powx(N, val_v->cpu_data(), Dtype(0.5),
val_t->mutable_cpu_data()); //val_t = val_v ^ 0.5
caffe_add_scalar(N, eps_hat, val_t->mutable_cpu_data());  //val_t += eps_hat
caffe_div(N, val_m->cpu_data(), val_t->cpu_data(),
val_t->mutable_cpu_data()); //val_t = val_m / val_t

caffe_cpu_scale(N, local_rate*correction, val_t->cpu_data(),
net_params[param_id]->mutable_cpu_diff());  //net_params_diff = local_rate*correction * val_t
break;
}
case Caffe::GPU: {
#ifndef CPU_ONLY
// g = net_params_diff
// m = val_m
// v = val_v
// gi = g[i];
// mi = m[i] = m[i]*beta1 + gi*(1-beta1);
// vi = v[i] = v[i]*beta2 + gi*gi*(1-beta2);
// g[i] = local_rate * correction * mi / (sqrt(vi) + eps_hat);
adam_update_gpu(N, net_params[param_id]->mutable_gpu_diff(),
val_m->mutable_gpu_data(), val_v->mutable_gpu_data(), beta1, beta2,
eps_hat, local_rate*correction);
#else
NO_GPU;
#endif
break;
}
default:
LOG(FATAL) << "Unknown caffe mode: " << Caffe::mode();
}
}

小结

1. 很多地方的动量的符号与本文不用，是用$\nu_{t+1}=-lr\nabla_{\theta_{t}}+m\nu_{t}$，然后$\theta_{t+1}=\theta_{t}+\nu_{t+1}$，其实原理是一致的，本文只是为了保持与caffe的代码一致。

参考

1. https://stats.stackexchange.com/questions/179915/whats-the-difference-between-momentum-based-gradient-descent-and-nesterovs-acc
2. https://jlmelville.github.io/mize/nesterov.html
3. https://zhuanlan.zhihu.com/p/22810533
4. https://zh.d2l.ai/chapter_optimization/adadelta.html
5. 《Deep Learning》-- Ian Goodfellow and Yoshua Bengio and Aaron Courville

Caffe的源码笔者是第一次阅读，一边阅读一边记录，对代码的理解和分析可能会存在错误或遗漏，希望各位读者批评指正，谢谢支持！