Cauchy-Binet公式的证明 及 对Denton et al. (2019)的个人注解

Denton et al. (2019) 即文献Denton, P.B., Parke, S.J., Tao, T., Zhang, X., 2019. Eigenvectors from Eigenvalues.

                                                                                                                                        -------- 司徒鲜生- 2019年11月15日@上海天文台

　　据新闻报道, 3个物理学家和数学天才陶哲轩研究出一个只用特征值就可以计算矩阵特征向量的公式, 我感觉很有趣, 这应该能够应用在很多领域中, 所以仔细研究了一波.

　　研究公式耗费了我大半天, 我把所有的equation都推导了一遍, 也给出了一些我的看法, 现在把它们总结出来, 方便后人参考. 我给出了Cauchy-Binet公式(原文引理1)的更广义形式及其怎么过程, 对该公式取特殊条件即可证明引理2.(该引理就是全文的主要结论). 不过相比之下, 还是陶哲轩对于引理2的证明更加简洁, 虽然没有用到引理1.

　　我的证明有些地方可能不严谨, 欢迎读者批评指正.

   参考(文献)

• 新闻报道(微信): 3个搞物理的颠覆了数学常识, 数学天才陶哲轩: 我开始压根不相信

• 参考(文献): Denton, P.B., Parke, S.J., Tao, T., Zhang, X., 2019. Eigenvectors from Eigenvalues. 未发表预印版.

　　0.说明

　　1.  化简的方法

　　2.  特征分解的方法

　　3.  联立可得

　　4.  特殊情况1

　　5.  特殊情况2

　　6.  特殊情况3

　　7.  特殊情况4

　　8.  解释及备注

　　9. 特征向量归一化的验证