为什么0.1+0.2=0.30000000000000004

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问题

在计算机的世界里，可能有很多常人无法理解的事情。比如 0.1 + 0.2 = ？。来，告诉我你的答案。

有的朋友看到这就迫不及待的说，这么简单的问题，很明显等于 0.3 啊，小学生都会算的好伐。你这是在侮辱我的智商 263a ？

好吧，我来告诉你一个打脸的事实，0.1 + 0.2 还真不等于 0.3 。先别急着反驳我。

打开你的任意一个浏览器（我用chrome做演示），F12打开console控制台，输入 console.log(0.1 + 0.2) 。如果你操作正确的话，你会看到以下的结果。

是不是感觉匪夷所思，what？为什么结果是0.30000000000000004，这是神魔鬼？ 难道，我这么多年学习的数学知识，老师教的都是错的？

别着急。其实，你的老师教的没错，在我们的世界中，0.1 + 0.2 确实是等于 0.3 的。但是，在计算机中，可就不是这么一回事了。待我娓娓道来。

因为，我们在计算数学问题的时候，用的是十进制，计算出来结果是0.3没问题。但是，在计算机中用的是二进制，都是由0和1来组成。这就不得不提一下，十进制转换二进制了。

二进制转换

十进制小数转换二进制的步骤：(以10.25为例)

1.先转换整数部分，除2直到商为0，倒数取余。

10/2 ... 商5...余数0
5/2   ...商2...余数1
2/2   ...商1...余数0
1/2   ...商0...余数1

倒数取余，就是1010

2.再转换小数部分，乘2取整，直到小数部分为0.

0.25*2 ... 0.50 ...整数0

0.50*2 ... 1.0   ...整数1

小数部分为0，结束，即为01

因此10.25(10)转换成二进制，结果就是 1010.01(2)

聪明的你，类比以上方法，应该可以动手去算一下十进制0.1转成二进制是多少了。

0.1*2 ... 0.2 ...整数0
0.2*2 ... 0.4   ...整数0
0.4*2 ... 0.8 ...整数0
0.8*2 ... 1.6   ...整数1
0.6*2 ... 1.2 ...整数1
0.2*2 ... 0.4   ...整数0

等等，怎么感觉进入死循环了，小数部分乘以2，一直乘不到小数部分为0

就像十进制中1/3，结果是0.3(3...)这样的问题一样，0.1转成二进制时也会存在精度问题，我们需要进行取舍。

我们看一下0.1在计算机中是怎么存储的。对此，需要了解一下浮点数的概念。

浮点数

浮点数，顾名思义，小数点是浮动的数。千万不要以为浮点数就是小数。因为，在js中是没有整数和小数的概念的，其实整数也是以浮点数的形式表示的，只是小数部分为0而已。

浮点数简单理解，就是类似于我们十进制中的科学计数法。在计算机中一般遵循IEEE 754标准。格式如下：

(-1)^S * M * 2^E
1. S表示符号位，当S=0时，为正数；当S=1时，为负数。
2. M表示有效数字（尾数），大于等于1，小于2。
3. E为指数（也叫阶码）。

因此，上边的10.25(二进制1010.01)按照此格式表示即为 1.01001 * 2^3

对于32位浮点数来说，符号位占一位，指数位占8位，尾数占23位
对于64位浮点数来说，符号位占一位，指数位占11位，尾数占52位

IEEE 754标准

注意：IEEE 754标准规定，在保存尾数M时，第一位默认是1，因此可以被舍去，只存储后边的部分。例如，1.01001保存的时候，只保存01001，等到用的时候再把1加上去。这样，就可以节省一个位的有效数字。

指数E在存储的时候也有些特殊。若为32位，指数占8位，则可表示的大小范围为0-255 。如为64位，指数占11位，范围为0-2047 。但是，指数是有正有负的，因此实际值需要在此基础上减去一个中间数。对于32位，中间数为127，对于64位，中间数为1023 。

还是以1.01001 * 2^3 为例，若为32位浮点数，则需要保存成 3+ 127 = 130，即二进制的10000010，若为64位浮点数，则保存成 3+ 1023 = 1026 ，即二进制的10000000010。

计算步骤

好了。巴拉巴拉了这么多。终于，要进入我们今天的正题了。

我们看一下 0.1 在计算机中是怎么用 IEEE 754标准存储的。

十进制0.1转为二进制为0.001100110011(0011循环)，即 1.100110011(0011)*2^-3，因此符号位为0，尾数1.100110011(0011)，阶码为 -4，实际存储为 -4+1023 = 1019 的二进制 1111111011

0  01111111011  1001100110011001100110011001100110011001100110011010
S    E指数             M尾数

十进制0.2转为二进制为0.001100110011(0011循环)，即 1.100110011(0011)*2^-3 ，存储时，符号位为0，尾数 1.100110011(0011)，阶码为-3，实际存储为 -3+1023 = 1020 的二进制 1111111100。

0  01111111100  1001100110011001100110011001100110011001100110011010
S     E指数          M尾数

接下来，计算 0.1 + 0.2 。

浮点数进行计算时，需要对阶。即把两个数的阶码设置为一样的值，然后再计算尾数部分。其实对阶很好理解，就和我们十进制科学记数法加法一个道理，先把指数部分化成一样，再计算尾数。

另外，需要注意一下，对阶时需要小阶对大阶。因为，这样相当于，小阶指数乘以倍数，尾数部分相对应的除以倍数，在二进制中即右移倍数位。这样，不会影响到尾数的高位，只会移出低位，损失相对较少的精度。

因此，0.1的阶码为 -4 , 需要对阶为 0.2的阶码 -3 。尾数部分整体右移一位。

原来的0.1
0  01111111011  1001100110011001100110011001100110011001100110011010
对阶后的0.1
0  01111111100  1100110011001100110011001100110011001100110011001101

然后进行尾数部分相加

0  01111111100   1100110011001100110011001100110011001100110011001101
+  0  01111111100   1001100110011001100110011001100110011001100110011010
=  0  01111111100  10110011001100110011001100110011001100110011001100111

可以看到，产生了进位。因此，阶码需要 +1，即为 -2，尾数部分进行低位四舍五入处理。因尾数最低位为1，需要进位。所以存储为：

0  1111111101  1011001100110011001100110011001100110011001100110100

最后把二进制转换为十进制，

二进制为：
1.1011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2^-2
转为十进制为：
2^-2 * (1*2^0 + 1*2^-1 + 0 + 1*2^-3 + 1*2^-4 + ...)
最终结果为：
0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125
因为精度问题，只取到：
0.30000000000000004

问题总结

1.在十进制转换为二进制的过程中，会产生精度的损失。

2.二进制浮点数进行对阶运算时，也会产生精度的损失。

因此，最终结果才产生了偏差。

看完的小伙伴，现在应该能理解，为什么0.1 + 0.2 ≠ 0.3 这个问题了吧。