前言

1.图状结构是我们研究的结构里面最复杂的结构

2.图的相关关系非常复杂，相关概念非常多

但是图又很重要，不管是地图，人物关系等，把每个人或者每个地方看作一个点，其他的点都会与之有上千万的联系。所有就都有及其复杂的网络，不管是路径规划，导航提醒还是警察在断案，其实本质上都是图的应用。

图的定义

图（graph）是由一些点（vertex）和这些点之间的连线（edge）所组成的；其中，点通常称为顶点（vertex），而点到点之间的连线通常称之为边或者弧（edge）。通常记为G=（V,E）。

注意：线性表可以是空表，树可以是空树，图不可以是空图，图可以没有边，但是至少要有一个顶点。

•  线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点（Vertex）。

• 线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。

• 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

 

  1.无向图

 

       如果一个图结构中，所有的边都没有方向性，那么这种图便称为无向图。典型的无向图，如图二所示。由于无向图中的边没有方向性，这样我们在表示边的时候对两个顶点的顺序没有要求。例如顶点VI和顶点V5之间的边，可以表示为(V2， V6),也可以表示为(V6，V2)。

　　

　　     　　　　　图二  无向图

      对于图二无向图，对应的顶点集合和边集合如下：

       V（G）= {V1，V2，V3，V4，V5，V6}

       E（G）= {（V1,V2），（V1，V3），（V2，V6），（V2，V5），（V2，V4），（V4，V3），（V3，V5），（V5，V6）}

 

  2.有向图

      一个图结构中，边是有方向性的，那么这种图就称为有向图，如图三所示。由于图的边有方向性，我们在表示边的时候对两个顶点的顺序就有要求。我们采用尖括号表示有向边，例如<V2，V6>表示从顶点V2到顶点V6，而<V6，V2>表示顶点V6到顶点V2。

　　

 　　     　　　　　图三  有向图

 

      对于图三有向图，对应的顶点集合和边集合如下：

       V（G）= {V1，V2，V3，V4，V5，V6}

       E（G）= {<V2，V1>，<V3，V1>，<V4，V3>，<V4，V2>，<V3，V5>，<V5，V3>，<V2，V5>，<V6，V5>，<V2，V6>，<V6，V2>}

 

有权图和无权图

所谓有权图就是每条边都具有一定的权重，通常就是边上的那个数字；而无权图就是每条边没有权重。  如下图所示即为有权图，(A,B)的权就是13。

 

连通、连通图、连通分量

在无向图中，两顶点有路径存在，就称为连通的。若图中任意两顶点都连通，同此图为连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。

以下面两个图为例，下面的图是上面的图的连通分量，并且下面的图是连通图。上面图中I与J也是连通的。

 

 

 

 

 

 　　　  上图的一个连通分量

 

强连通图、强连通分量

在有向图中，两顶点两个方向都有路径，两顶点称为强连通。若任一顶点都是强连通的，称为强连通。有向图中极大强连通子图为有向图的强连通分量。

以下面的图为例：下图就是一个强连通图，并且是下面图的强连通分量。

　　　　　　强连通图 

    

 

 

 顶点的度、入度和出度

顶点的度为以该顶点为一个端点的边的数目。

对于无向图，顶点的边数为度，度数之和是顶点边数的两倍。

对于有向图，入度是以顶点为终点，出度相反。有向图的全部顶点入度之和等于出度之和且等于边数。顶点的度等于入度与出度之和。

注意：入度与出度是针对有向图来说的。

 

 

 

 　　　　A出度：1    A入度：2

 

图的存储

邻接矩阵

邻接矩阵是一个二维数组，数据项表示两点间是否存在边，如果图中有 N 个顶点，邻接矩阵就是 N*N 的数组。

 

 

 　无向图的边数组是一个对称矩阵  

1表示有边，0表示没有边，顶点与自身相连用 0 表示

 

 

 

　　　横向为：出度   纵向为：入度

 

 

 

 

　　 不要混淆度和权值！！      V2的入度为：1        V2的入度权值为：3

邻接表

　　邻接表是一个链表数组（或者是链表的链表），每个单独的链表表示了有哪些顶点与当前顶点邻接。

 

 

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　无向图的邻接表（指的边数）

　　

 

 

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　有向图的邻接表（指的出度）

 

 

 　　　　　　有向图的逆邻接表（指的入度）

 

 

 　　　　　　带权值邻接表（指的出度）