树和二叉树简介

博客原文：http://blog.laofu.online/2019/07/12/tree/

树的定义

为了保证数据的能够有效的查询，可以使用顺序结构。为了保证数据的插入效率，我们可以使用链型结构。但在某些场合，我们需要同时兼顾查询效率和插入的效率，应该怎么做？

树（

Tree

）型结构是一类常用的高效的非线性的数据结构，兼顾了顺序表的查询效率和链表的插入效率。例如我们电脑中的目录结构，采用的就是一种树形结构关系。 树的具体结构形状如下图：

关于树有以下几个定义：

度：每个节点拥有的叶子的个数称之为度。A节点的度是3 
树的度：是指节点的最大值，当前树的度是4。 
根节点：树的开始节点，A节点是根节点 
叶子节点：没有子节点的节点，K、L、F节点是叶子节点   

为什么树能够保持较高的查询和插入效率，对比顺序结构， 顺序结构的查询效率的时间复杂度为O(1)，插入的效率为O(n)，链式结构正好相反。

如果我们把数据结构由线形结构转成树形结构的话，查询和遍历节点的数量一定是小于等于n，所以树的效率一般是优于线性结构。

树的存储形式

• 双亲表示法

  双亲表示法是指用顺序结构来表示数，每个节点设置一个变量，来指示双亲节点所在的位置，如下：

                   

 

• 孩子表示法

  每个节点可能有多个子节点，可以用使用多级链表来分别表示。具体如下 

• 孩子兄弟表示法

  又称为二叉树表示法，是以二叉链表的方式进行存储。表示如下：

             

二叉树

  二叉树

是一种特殊的树型结构，有一个根节点和最多有两个子节点（每个节点的度不大于2）。称为二叉树。

 

• 满二叉树:一个深度为k的二叉树，有2k-1个节点,即除最底层的节点外，其他节点都有两个叶子节点。

• 完全二叉树 除了叶子节点不满，其他都满。且最下面一层节点如果不满，则所有的节点在左边的连续排列，空位都在右边。这样的二叉树就是一棵完全二叉树。满二叉树是特殊的完全二叉树。

   

• 二叉查询树： 又名二叉搜索树，二叉排序树，即在插入的时候，值的大小就决定了在二叉树中的位置。

  具有以下性质：

  若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值小于它的根结点的值；

  1. 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值大于它的根结点的值；

  2. 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；

  3. 没有键值相等的节点。

  如下图

        

• 平衡二叉树：前面我们看到了二叉查询树的特点，如果当根节点选择不当的时候，会出现左右失衡的现象，比如：

如果我们查询的数据是

160

的话，需要遍历深度为6。如果我们在插入的时候能让树保持在一个合理的深度，每次插入进行平衡，这样检索的效率会不会提升？这就是我们要引入的

平衡二叉树

，明确定义是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树,我们把上图进行整理成

平衡二叉树

。结果如下：   

 

 

     这样在查询

160

的时候，只需要遍历深度为3. 但平衡二叉树在插入数据的会造成

失衡

,所以

平衡二叉树

修改时候比

二叉搜索树

更加复杂。

 

• 红黑树：红黑树是带有红黑标记的二叉查询树，除了排序的属性有多了颜色的属性

 

红黑树除了具有查询的树的特点外，还具有具有以下特点：

1. [li]根节点一定是黑色的，节点非黑即红
2. 每个红节点的两个子节点都是黑色的、
3. 任意节点到每个叶子节点的所有路径都包含相同的黑色节点
4. 叶子节点都是黑色（Null）节点

[/li]

如果我们将一个数据185插入到上面的树的节点中，过程如下：

 

 

•  霍夫曼树： 是一种带有权重的最优二叉树。 首先看一个例子：

上面有三颗树，我们把叶子节点到根节点的权重和深度乘积的和称为权重路径长度 （

WPL

） 则上面三颗树的长度分别为：

1. [li]

   WPL

   = 72+52+22+42=36

2. WPL

   = 73+53+21+42=46

3. WPL

   = 71+52+23+43=35

[/li]

从上面的结果可以看出第3棵为最小，也可以证明第3棵是最优二叉树， 所以霍夫曼树的特点就权重最大的节点路径为最短，这样能使整颗树的权重路径长度最小。

霍夫曼树常用的字符串的缩减，称为霍夫曼编码，能够有效的降低编码的长度。