机器学习（3）：机器的进化-迭代学习

之前介绍的简单线性回归，就是一个回归模型，是一个可用于机器学习的模型。什么意思呢？就是模型的状态（参数集合）是可以进化的，只要合理训练它，模型就能取得更好的预测状态，所以说模型可用于机器学习。

要应用机器学习，一开始就要考虑选择一个良好的模型（分类模型或回归模型），想清楚了，这步是很重要的，如果你选择了一个不对口的模型，你可能花了半辈子的样本挑选与训练，也得不到一个好的模型状态，最终预测不到好的结果。但这里讲的不是怎么选择模型，而是想说，模型是怎么进化的，也就是训练的过程是怎么样的。

又是一些枯燥的内容，但是我也没有办法，难道枯燥就不去了解吗？或者你有更好的表达办法？

（一）迭代训练的概念

你可能已经想像到，训练会一直在调整模型的参数。是的，训练就是要强大，强大就是要固化出最好的参数集合，跟你全面锻炼身体一样，你体重多少？

为了更具体地理解训练的运行原理，可以参考以下这张图（图片源于：https://developers.google.com/machine-learning/crash-course/reducing-loss/an-iterative-approach）：

因为训练接受的样本是带标签的，所以交给模型的是特征与标签的组合，但你要注意，模型处理的是“所有”样本，它对“所有”样本进行预测，得到一堆预测标签，然后再计算误差或损失，然后再调整参数。所以你不要理解为一定是先处理一个样本就调参然后再来一个样本。这里，我留了一个后路，为了计算损失，并不一定要所有样本参与，甚至可以一次迭代只用一个样本，这个在最后再说。

比如，套用之前的简单线性回归模型，根据关系y=mx+b，每一个样本都得到预测标签。之后，根据预测标签与真实标签，进行损失计算，比如按均方误差计算出损失，如果损失已经很小了，或者若干次调整都不能让损失变小或变小的幅度很小，那你可以下结论了：这个就是最小损失，不用再训练了，模型的状态是最fit的了--这个叫训练收敛。

如果损失比上一次还小（还小很多）而且还不是你以为最小的值，那说明什么？说明还有好处可捞啊，还要调整参数以取得更小的损失啊。那调整参数之后，是不是预测效果就更好了呢？不知道！这时要对所有样本再预测一遍、再计算一次损失，才知道。于是，迭代开始了。

如此，反复迭代预测、算损失、调参的流程，至到天荒地老（即收敛，收敛了就放过它）。迭代的过程是自驱动的，这个是机器学习的特点。

迭代的流程是比较重要的概念（能让你较全局地理解机器学习），你有必要在脑海中多想一下这个情景，为了配合你，小程把一元回归模型的图放在下面，你想像一下，图里面的那根线，调整一个角度后，对所有点算一次损失，如果不是最小损失，就再调整一个角度...

上面多次说到调整参数，说得轻巧，怎么调整？随便加1或减1吗？

（二）调整模型参数的办法

在迭代学习的过程中，机器会自驱动地调整模型的参数。调整模型的参数是机器学习的一个重要环节，那么，如何调整模型的参数呢？

以简单的一元回归（是一块钱回到家的意思吗？）为例：y=wx+b，要调整的参数就是w跟b，怎么调？首先你要记得你的目的，你调参的目的，是为了得到最小损失，那w跟b是何值时，才是最小损失呢？

先说一个不经过设计的自然的想法，假设先调整w（b先随便固定一个值），如果我能把所有的w值的损失都计算出来了，也就是对于w取{1，-1，2，2.5，...}各个值时，都算出所有点的整体损失，那不是有最小损失了吗？最小损失对应的那个w值就是最佳的参数啊。

想法是没错的，但是，一般来说，越自然的想法，越不是一个好的算法。

算法就是设计的东西。怎么调整出最佳参数，同样有更好的算法，而不是对所有w值全量计算（效率太低了！），其中一个常用算法叫梯度下降法。

首先要理解一个前提。据研究（不是我的研究），损失跟权重的关系，是一个碗状图（这就是损失函数），就是这个：

有什么特点？一个特点是，有一个最低点，就是损失最小的点，这个就是我们的目标（对应的w值就是最佳参数），另一个特点是，沿着碗边走，只要方向对而且移动幅度足够小，就一定能到达最低点。

要到达远方，现在就要出发。这里有两个关键点，一个是方向，一个是移动幅度。

怎么确定方向呢？比如对于曲线，往左还是往右（即w是增加还是减小），对于曲面呢？

这时，梯度下降法来帮你，它可以有效地去到最低点。

以下分隔线内的东西，横空而来，你若有兴趣则读一读，它告诉你，什么是梯度。

什么是导数？

导数是函数的导数，函数只有一个自变量时叫导数（否则叫偏导数）。直观点，函数都是曲线，所以导数就是曲线上某一点的导数（不说不可导的情况）。

某一点的导数是什么意思呢，就是这一点的变化率，定义大概是这样的（数学符号不好写）：在某一点，在x的增量趋于0时，也就是x的变化很小很小很小时，y的增量与x的增量的比值，就是变化率。明显，以x的增量趋于0来描述了这一点的变化（让变化很小）。这个就是变化率的含义，简单来说，导数就是变化率，描述了变化的情况。

换一个角度来说（只考虑变量值是实数的情况），先看看我的手绘图（你给多少分？）：

上图，表达的是p1下一步（“附近”）的变化率，为了好画线，找了一个很远的p2点。你可以想象，当p1的下一步变化很小很小时（dx趋于0时），p2就会无限接近p1，而这个过程，直线p1p2的变化是怎么样的？想象一下，是不是p1p2会越来越像p1处的切线？

点p1的导数，从另一个角度来说，就是这个地方的切线斜率。可以想象，如果曲线上的所有点，都取它的切线，就可以逼近曲线。这种用导数来还原曲线（函数）的办法，就叫积分。求导跟积分是互逆过程。

如果你还是不太明白，那知道一个概念就算了：变化、导数跟切线，是关联的东西。

什么是偏导数？

上面提到的损失函数是一个曲线，因为只有一个特征变量。如果有多个特征，那损失函数就不再是曲线，而是曲面（某点的切线有无数条）。曲面（多个自变量）时，不再叫导数，而叫某某变量的偏导数，只是为了明确是谁的变化率。而问题也在这里，为了得到x的偏导数，就要固定其它自变量，而此时的偏导数就只是沿x方向的变化（不能同时考虑进其它方向），这样就没有任意方向了，没有任意方向是个问题吗？

举个例子，假设你在山坡上，你要走到山谷的小湖中。如果每次移动你只能在x、y或z（平面与高度）中的一个方向移动（假设你总能移动哪怕是穿透），那你只能是“直上直下”、“直前直后”的，这个不是高效的走法。此时，为了形象，手绘图再次出场：

图中的虚线（实际上有无线），可能让你更快地到达小湖洗脚，这个叫方向导数。

什么是方向导数？

为了解决直前直后的偏导数的问题，引入另一个概念就是方向导数。方向导数就是任意方向的导数，可以想象，你所在的山坡的位置，有无数的方向导数，于是，哪一个方向导数（也就是变化率）是变化最大的？变化最大的方向在哪里？这个大小跟方向都是可以求出来的。

为了标志方向导数的最大值跟方向，引入了一个名字，叫梯度。

什么是梯度

终于到我出场了，梯度是一个矢量（有大小跟方向），梯度的值就是最大的变化率（方向导数的最大值），梯度的方向就是最大变化率的方向（取得最大方向导数的方向）。

所以，沿着梯度的反方向，就是下降最快的方向，就是最快到损失最低点的方向，而梯度下降算法就利用了这个特征。

梯度是一个矢量，值是最大方向导数的值，方向是取得最大方向导数的方向。是不是很绕？是的，跟废话一样绕。简单来说，梯度的反方向代表着最佳的前进方向，指引你快速到达损失最低点。

问题是，我不会计算梯度啊，怎么办？在应用的世界，这都不是问题，比如tensorflow会帮你计算梯度，你躺着就好。

但稍微理解一下操作总是要的吧。梯度下降法，在整体操作上，还是较容易理解的。可以参考这个图（图片来源于：https://developers.google.com/machine-learning/crash-course/reducing-loss/gradient-descent）：

前面提过，走到最低点，一看方向，二看移动幅度。方向的问题用梯度解决了，那移动的幅度呢？这时引入一个概念，叫学习速率（learning_rate），也叫步长。移动的幅度，就是当前点的梯度值乘以学习速率（比如是0.001），再加上原梯度值。

如果学习速率很小，那总会走到损失的最低点，但训练时间有可能很长。如果学习速率很大，那有可能总是跳过最低点而无法收敛（注意，不是说一出现跳过最低点就一定不能收敛，它可以左右摆动最终到达最低点，因为移动幅度是变化的，跟陡峭的程度有关）。

一般可以边训练边观察，寻找一个折中的学习速率值，这个跟样本的数量、特征复杂度等有关。对于学习速率的直观感受，你可以在这个页面操作一下：
https://developers.google.com/machine-learning/crash-course/fitter/graph

以上就介绍了怎么调整参数。

最后，再重提一下损失曲线，上面说每一次迭代都要对所有样本预测并计算损失，而实际上，“所有”并不是终极方案，如果有更优的方案呢，如果不必所有的样本都计算一次呢（毕竟有时样本是海量的）？这时，一些优化方案就出来了，比如随机梯度下降（只使用一个样本）、小批量随机梯度下降（多一点样本），这些就不细说了，谁用谁研究。

总结一下，本文介绍了模型训练的迭代学习的原理。迭代学习的过程，主要是模型的计算参数被调整，进而触发反复的标签预测（预测是为了算损失）、损失计算与模型参数调整，是一个自驱动的过程。在迭代的过程中，调整模型的参数是重要的一环，梯度下降算法可以有效地调整模型参数，以达到最小的损失，从而使训练收敛。