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玩转 matlab 之二维 gauss 数值积分公式使用及 matlab 源代码(1)-常量区间

2019-05-11 14:59 1956 查看

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继续上一篇一维gauss积分的讨论,本文讨论二维gauss数值积分公式的使用,并给出数值实验。

一. 标准区间

按照一维情况类似方式,首先给出如下二重积分公式:
\[ I = \int_{-1}^1dx\int_{-1}^1 f(x,y)dy=\Sigma_{k=1}^m\Sigma_{l=1}^mA_{kl}f(x_k,y_l). \]
这是标准的二维gauss积分 \(m\times m\) (即 x 轴和 y 轴分别取 m 个点对应\(m^2\)个点)公式的表达式,其中,\(x_{kl}\) 称作gauss积分点,\(A_{kl}\)称作\(x_{kl}\) 点处的权重。\(m=1,2,3\) 时候草图如下所示:

下面给出部分gauss积分点和权重对应列表

gauss点个数 \(m^2(m\times m)\) gauss 点 \((x_i,y_i)\) 权重 \(A_i\) 精度(2m-1)
1 (\(1\times 1\)) \(x_1=y_1=0\) \(A_1\)=4 1
4 (\(2 \times 2\)) \(x_{1}=-1/\sqrt{3},y_{1}=-1/\sqrt{3}\)
\(x_{2}=1/\sqrt{3},y_{2}=-1/\sqrt{3}\)
\(x_{3}=1/\sqrt{3},y_{3}=1/\sqrt{3}\)
\(x_{4}=-1/\sqrt{3},y_{4}=1/\sqrt{3}\)
\(A_1=A_2=A_3=A_4=1\) 3
9 (\(3 \times 3\))
令\(gpt=\sqrt{3/5}\)
\(x_1=-gpt,y_1=-gpt\)
\(x_2=gpt,y_2=-gpt\)
\(x_3=gpt,y_3=gpt\)
\(x_4=-gpt,y_4=gpt\)
\(x_5=0,y_5=-gpt\)
\(x_6=gpt,y_6=0\)
\(x_7=0,y_7=gpt\)
\(x_8=-gpt,y_8=0\)
\(x_9=0,y_9=0\)
\(A_1=A_2=A_3=A_4=25/81\)
\(A_5=A_6=A_7=A_8=40/81\)
\(A_9=64/81\)
5

一般二重积分近似值也就是使用 \(2\times 2,\quad 3\times 3\) 公式就完全足够了。所以不需要太多的点,徒增计算量。因此就可以得到gauss积分的坐标表达式为:
\[ I = \int_{-1}^1dx\int_{-1}^1 f(x,y)dy=\Sigma_{i=1}^{m^2}A_{i}f(x_i,y_i). \]

二. 一般区间

对于一般区间,先考虑区间端点为常量情况(下一节介绍区间为变量情况),即
\[ I = \int_{a}^bdx\int_{c}^d f(x,y)dy. \]
其中 \(a,b,c,d\) 都是已知常数。与一维情况类似,只需要做变量变换,于是\([s,t]\in[-1,1]\times [-1,1]\)(通俗讲就是换元法)
\[ 令 \quad x =\frac{b+a+(b-a)s}{2},\qquad 则\quad dx=\frac{b-a}{2}ds,\\ \quad y =\frac{d+c+(d-c)t}{2},\qquad 则\quad dy=\frac{d-c}{2}dt.\\ 记\qquad jac = \frac{(b-a)(d-c)}{4},\qquad 则 \quad dxdy=jac\times dsdt \]
于是二重积分就变成了
\[ I = \int_{a}^bdx\int_{c}^d f(x,y)dy =jac\times\int_{-1}^1ds\int_{-1}^1f(\frac{b+a+(b-a)s}{2},\frac{d+c+(d-c)t}{2})dt.\\=jac\times\Sigma_{i=1}^{m^2}A_{i}f(\frac{b+a+(b-a)s_i}{2},\frac{d+c+(d-c)t_i}{2}). \]
其中 \((s_i,t_i)\) 即为上表中的 gauss 节点,对应的权重因子为 \(A_i\)。

三. 数值实验(没有编程的计算是不完整的)

使用matlab2018a 计算结果,并且与matlab自带函数 integral2 计算的结果进行比较给出误差。

算例如下:
\[ 计算定积分 I = \int_{a}^bdx\int_{c}^d f(x,y)dy \]
其中,\(a=1.4,b=2,c=1,d=1.5,f(x,y)=ln(x+2*y), ln\)是以e为底对数函数。使用matlab的integral2 函数计算结果为\(I =0.429554527548275\).

自己编程计算结果如下:

高斯点数 \(m^2(m\times m)\) 积分值 \(I_m\) 误差norm(\(I_m-I\))
4(\(2\times 2\)) 0.429556088022242 1.56E-06
9(\(3\times 3\)) 0.429554531152490 3.60E-09

四. 总结和下节预告

  1. 从实验数据可以发现,二重gauss数值积分使用\(2\times 2\) 4个点的情况下,结果已经很准确了,达到了1e-6的误差,所以在实际计算中,一般使用4点或者9点的gauss公式就可以满足要求了。
  2. 下一节介绍当积分区间在变系数下的二重gauss公式的计算方法
  3. 欢迎与我交流,数值分析,矩阵计算,PDE数值解等,QQ群 315241287

五. matlab源代码

clc;clear;
%   compute int_a^b [int_c)^d    f(x,y)]
%   (x,y) \in [a,b] X [c,d]
%%  setup the integral interval and gauss point and weight
a = 1.4;    b = 2;
c = 1;      d =1.5;
fun=@(x,y)    log(x+2*y);
fprintf('***********************************************\n')
for gauss = 2:3 %    m points rule in 2 dimensional case
if gauss == 2
fprintf('*******  2X2 points gauss rule result *******')
gpt=1/sqrt(3);
s(1) = -gpt;  t(1) = -gpt;
s(2) =  gpt;  t(2) = -gpt;
s(3) =  gpt;  t(3) =  gpt;
s(4) = -gpt;  t(4) =  gpt;
wt = [1 1 1 1];
elseif gauss == 3
gpt=sqrt(0.6);
fprintf('*******   3X3 points gauss rule     *******')
s(1) = -gpt; t(1) = -gpt; wt(1)=25/81;
s(2) =  gpt; t(2) = -gpt; wt(2)=25/81;
s(3) =  gpt; t(3) =  gpt; wt(3)=25/81;
s(4) = -gpt; t(4) =  gpt; wt(4)=25/81;
s(5) =  0.0; t(5) = -gpt; wt(5)=40/81;
s(6) =  gpt; t(6) =  0.0; wt(6)=40/81;
s(7) =  0.0; t(7) =  gpt; wt(7)=40/81;
s(8) = -gpt; t(8) =  0.0; wt(8)=40/81;
s(9) =  0.0; t(9) =  0.0; wt(9)=64/81;
end
%%   区间变换到   [-1,1] X [-1,1]
jac = (b-a)*(d-c)/4;
x = (b+a+(b-a)*s)/2;
y = (d+c+(d-c)*t)/2;
f = fun(x,y);
comp = wt(:) .* f(:) .* jac;%无论一个向量是行还是列,写成x(:)都会变成列向量

format long
comp = sum(comp)
exact = integral2(fun,a,b,c,d);

fprintf('the error is norm(comp-exact)=%10.6e\n\n',norm(comp-exact))

end
fprintf('******************************************\n')
fprintf('matlab  built-in function ''integral2''\n')
exact
format short
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