#LeetCode62-不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

一、思路

组合数学的问题：
机器人每次只能选两个方向，假设地图的大小是n×mn \times mn×m，那么从左上角走到右下角需要走(m−1)+(n−1)(m-1)+(n-1)(m−1)+(n−1)步，在这么多步中有(n−1)(n-1)(n−1)步需要向下走
因此：它往下走的方法有C(n+m−2,n−1)C(n+m-2,n-1)C(n+m−2,n−1)种
当向下走的步数确定之后，这时其余的步数都只能向右走了，即确定一种走法

所以这道题是在说，如何求解C(n+m−2,n−1)C(n+m-2,n-1)C(n+m−2,n−1)

C++代码：

class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
if (m == 1 || n == 1)
return 1;
int sum = m + n - 2;
long long dividend = factorial((n > m) ? n : m, sum);
long long divisor = factorial(2, (n > m) ? (m - 1) : (n - 1));
int ans = dividend / divisor;
return ans;
}
long long factorial(int begin, int end) {
long long product = 1;
while (begin <= end) {
product *= begin;
begin++;
}
return product;
}
};

执行效率：