暴力递归和动态规划解决二维数组最小路径和的问题（C++实现）

暴力递归：
1， 把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题
2， 有明确的不需要继续进行递归的条件(base case)
3， 有当得到了子问题的结果之后的决策过程
4， 不记录每一个子问题的解

动态规划：
1， 从暴力递归中来
2， 将每一个子问题的解记录下来， 避免重复计算
3， 把暴力递归的过程， 抽象成了状态表达
4， 并且存在化简状态表达， 使其更加简洁的可能

[code]#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int> > &grid,int i,int j) {//暴力递归实现，参数i,j表示从点(i,j)到右下角点的最短路径
if (grid.empty())
return 0;
int m = grid.size();
int n = grid[0].size();
if (i == m - 1 && j == n - 1)//点(i,j)如果就是右下角点，那么直接返回
return grid[i][j];
if (i == m - 1)
return grid[i][j] + minPathSum2(grid, i, j + 1);//最后一行是basecase
if(j==n-1)
return grid[i][j]+ minPathSum2(grid, i+1, j);//最后一列也是basecase
int right= minPathSum2(grid, i, j + 1);
int down = minPathSum2(grid, i + 1, j);
return (right < down ? right : down) + grid[i][j];
//从(i,j)点到右下角点的最短路径等于(i,j)点的值和(i+1,j)点、(i,j+1)点到右下角点最短路径较小的相加

}
int minPathSum(vector<vector<int> > &grid) {//动态规划实现
if (grid.empty())
return 0;
int m = grid.size();
int n = grid[0].size();
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, grid[0][0]));
for (int i = 1; i<m; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];//第一列的值是可以确定的，是basecase
}
for (int i = 1; i<n; i++) {
dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];//第一行的值也是可以确定的，是basecase
}
for (int i = 1; i<m; i++) {
for (int j = 1; j<n; j++) {
dp[i][j] = (dp[i - 1][j]<dp[i][j - 1]? dp[i - 1][j]: dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
//到(i,j)点的最短路径等于到(i-1,j)点和到(i，j-1)点的最短路径短的那个再加上(i,j)点的值
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}

};
int main()
{
vector<vector<int>> v(4, vector<int>(3));//这块是4行3列二维vector的初始化，用二维vector比二维数组要简单些
for (int i = 0; i<4; i++)
for (int j = 0; j<3; j++)
v[i][j] = i+j;

Solution s;
cout << s.minPathSum(v) << endl;
cout << s.minPathSum2(v,0,0) << endl;
system("pause");
return 0;
}

从上面图片可以看出，暴力递归会重复计算，浪费时间，而动态规划使用了一个二维数组dp来保存已经求出来的那些点最短路径，动态规划算法是 “记住求过的解来节省时间”，用空间换时间，它的核心就是记住已经解决过的子问题的解。

然后对于为什么使用二维数组保存已经求出的解，为什么不是一维呢？我们分析可变参数，可变参数是二维vector的横纵坐标i和j，可变参数有几个就用几维的表来存，二维vector的长宽的范围就是两个可变参数的范围，每个位置表示（0，0）到此位置的最短路径，所有的返回值一定可以装在这张二维表里面，把二维表的basecase填好（也就是第一行和第一列 ），二维表（m-1,n-1）的位置就是我要求的结果，看其中求普通位置需要哪些其他位置的值，逆着回去就是我填表的顺序。

参考：https://blog.csdn.net/weixin_38628152/article/details/80275588和https://blog.csdn.net/u014303647/article/details/80335627和https://blog.csdn.net/weixin_37766296/article/details/80113760