问题描述

请编写一个程序，求给定加权图有向图G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)的单源最短路径的成本。请以G的顶点0为起点，输出0到各顶点v的最短路径上各边权值的总和d[v]。

输入： 第1行输入G的顶点数n。接下来n行按如下格式输入各顶点u的邻接表：
u k v1 c1 v2 c2 … vk ck
G各顶点编号分别为0至n-1。u代表顶点的编号，k代表u的出度。vi (i = 1, 2, , k)代表与u相邻顶点的编号，ci代表u到vi的有向边的权值。
输出： 按顺序输出各顶点编号v及距离d[v]，相邻数据间用1个空格隔开。
限制：
1 ≤ n ≤ 100
0 ≤ ci ≤ 100000
0到各顶点之间必然存在路径。

输入示例

5
0 3 2 3 3 1 1 2
1 2 0 2 3 4
3 4 2 1 0 1 1 4 4 3
4 2 2 1 3 3

输入示例

0 0
1 2
2 2
3 1
4 3

讲解

在加权有向图的邻接矩阵中，如果顶点 i 到顶点 j 存在权值为w的边，那么M[i][j]的值为w。不存在边时，设置为一个极大值。

狄克斯特拉算法：
设图G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)所有顶点的集合为V，起点为s，最短路径树种包含的顶点集合为S。在各计算步骤中，我们将选出最短路径树的边和顶点并将其添加至S。
对于各顶点 i ，设仅经由S内顶点的s到i的最短路径成本为d[i]，i 在最短路径树中的父结点为p[i]。

1.初始状态下将S置空。初始化s的d[s] = 0；除s以外，所有属于V的顶点 i 的d[i] = 极大值。
2.循环进行下述处理，直至S = V为止
从V - S中选出d[u]最小的顶点u
将u添加至S，同时将与u相邻且属于V - S的所有顶点v的值按照下述方式更新

if d[u] + w(u, v) < d[v]
d[v] = d[u] + w(u, v)
p[v] = u

在步骤2的各处理执行结束后（即选择下一个u之前），d[v]中记录着从s出发，仅经由S内顶点抵达v的最短路径成本。也就是说，当所有处理进行完毕后，V中所有顶点的d[v]都记录着s到v最短路径成本（距离）。

用邻接矩阵实现狄克斯特拉算法时，需要用到下列变量。这里的n = |V|。

color
：color[v]用于记录v的访问状态WHITE、GRAY、BLACK
M

：邻接矩阵，M[u][v]中记录到u到v的边的权值
d
：d[v]用于记录起点s到v的最短路径成本
p
：p[v]用于记录顶点v在最短路径树种的父结点

使用上述变量，我们可以这样实现狄克斯特拉算法：

dijkstra(s)
将所有顶点u的color[u]设为WHITE，d[u]初始化为INFTY
d[s] = 0
p[s] = -1

while true
mincost = INFTY
for i 从 0 至 n-1
if color[i] != BLACK && d[i] < mincost
mincost = d[i]
u = i

if mincost == INFTY
break

color[u] = BLACK

for v 从 0 至 n-1
if color[v] != BLACK 且 u 和 v 之间存在边
if d[u] + M[u][v] < d[v]
d[v] = d[u] + M[u][v]
p[v] = u
color[v] = GRAY

狄克斯特拉算法不可以应用于包含负权值的图。具有负权值的图可以套用贝尔曼——福特算法或弗洛伊德算法来处理。

AC代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
static const int MAX = 100;
static const int INFTY = (1<<21);
static const int WHITE = 0;
static const int GRAY = 1;
static const int BLACK = 2;

int n, M[MAX][MAX];

void dijkstra(){
int minv;
int d[MAX], color[MAX];

for(int i = 0; i < n; i++){
d[i] = INFTY;
color[i] = WHITE;
}

d[0] = 0;
color[0] = GRAY;
while(1){
minv = INFTY;
int u = -1;
for(int i = 0; i < n; i++){
if(minv > d[i] && color[i] != BLACK){
u = i;
minv = d[i];
}
}
if(u == -1) break;
color[u] = BLACK;
for(int v = 0; v < n; v++){
if(color[v] != BLACK && M[u][v] != INFTY){
if(d[v] > d[u] + M[u][v]){
d[v] = d[u] + M[u][v];
color[v] = GRAY;
}
}
}
}

for(int i = 0; i < n; i++){
cout<<i<<" "<<(d[i] == INFTY ? -1 : d[i])<<endl;
}
}

int main(){
cin>>n;
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j < n; j++){
M[i][j] = INFTY;
}
}

int k, c, u, v;
for(int i = 0; i < n; i++){
cin>>u>>k;
for(int j = 0; j < k; j++){
cin>>v>>c;
M[u][v] = c;
}
}

dijkstra();

return 0;
}