【leetcode】4. 寻找两个有序数组的中位数

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题目描述

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

输入示例:

示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0

示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

思路1

直接将两个数组执行归并排序合并为一个数组nums，然后便可以得到中位数。
时间复杂度：o(n)o(n)o(n)
空间复杂度：o(n)o(n)o(n)

代码

def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
"""
先进行归并排序，然后直接取中位数
:param nums1:
:param nums2:
:return:
"""
nums = []
i = j = 0
while i < len(nums1):
n1 = nums1[i]
while j < len(nums2):
n2 = nums2[j]
if n2 < n1:
nums.append(n2)
j += 1
else:
break
nums.append(n1)
i += 1
if j < len(nums2):
nums.extend(nums2[j:])

len_nums = len(nums)
if len_nums % 2 == 1:
return nums[(len_nums - 1) // 2]
else:
return float(nums[len_nums // 2 - 1] + nums[len_nums // 2]) / 2

思路2

这种方法比思路1要复杂很多，需要有两个定理支持：

定理一：从有序序列seq1seq1seq1的首尾区域（不包含中值）内随机剥离等数目的数值得到新的有序序列seq2seq2seq2，seq1seq1seq1与seq2seq2seq2的中位数相同。

定理二：对于有序序列seq1seq1seq1、seq2seq2seq2及其中位数med1med1med1、med2med2med2，当从中位数更小的序列的左侧、中位数更大的序列的右侧删除等数目的元素后，新得到序列seq1′seq1'seq1′和seq2′seq2'seq2′，seq1seq1seq1合并seq2seq2seq2的中位数与seq1′seq1'seq1′合并seq2′seq2'seq2′的中位数相同（基于定理一）。而当med1med1med1与med2med2med2相同时，med1med1med1即为合并后的中位数。

基于上面两个定理，算法如下所述：

1. 从nums1和nums2中分别算得中位数m1,m2
2. 用两个中位数进行比较，取中间的两段——即较大中位数所在数组的左段，较小中位数所在数组的右段。 左右两段形成时，需要从原本数组中剥离等数量的数值。
3. 从新的两端数组中寻找中位数，形成递归
4. 当其中一个数组长度较小时，直接快速得到中位数

时间复杂度：o(n)o(n)o(n) 但理论上上比思路一要小
空间复杂度：o(0)o(0)o(0)

代码

def find_median(self, nums):
len_nums = len(nums)
if len_nums % 2 == 0:
# 偶数返回中间两值的均值，同时index为右边
return (nums[len_nums >> 1] + nums[(len_nums >> 1) - 1]) / 2., len_nums >> 1
else:
return nums[((len_nums + 1) >> 1) - 1], ((len_nums + 1) >> 1) - 1

def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
len_nums1 = len(nums1)
len_nums2 = len(nums2)
# 递归终止，找到了中位数
if len_nums1 == 0:  # 其中一个数组为空
median, _ = self.find_median(nums2)
return median
if len_nums2 == 0:
median, _ = self.find_median(nums1)
return median
if len_nums1 <= 2 or len_nums2 <= 2:  # 其中一个数组长度不足
nums = []
nums.extend(nums1)
nums.extend(nums2)
nums.sort()
median, _ = self.find_median(nums)
return median

median1, med_idx1 = self.find_median(nums1)
median2, med_idx2 = self.find_median(nums2)
if median1 == median2:  # 两数组的中位数相等，直接返回
return median1
else:  # 不等进入递归
if median1 > median2:  # 取nums1的左侧，nums2的右侧
if len_nums2 % 2 == 0:  # 偏移偶数数组nums2的指针，从而子数组能够包含中间两位
med_idx2 -= 1
strip_len = min(len(nums1) - med_idx1 - 1,
med_idx2)  # 这里需要等额剥离相同长度。依据原理：从有序序列的首尾区域（不包含中值）内随机剥离等量的数值，最终的中位数不变
new_num1 = nums1[0:len(nums1) - strip_len]
new_num2 = nums2[-(len(nums2) - strip_len):]
else:
if len_nums1 % 2 == 0:
med_idx1 -= 1
strip_len = min(len(nums2) - med_idx2 - 1, med_idx1)
new_num2 = nums2[0:len(nums2) - strip_len]
new_num1 = nums1[-(len(nums1) - strip_len):]
return self.findMedianSortedArrays(new_num1, new_num2)

参考

• [1] leetcode原题
• [2] 详尽源码