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[机器学习]GBDT|XGboost|Adaboost详解及公式推导

2018-10-15 23:45 288 查看

Boosting和Bagging

Boosting方法是集成学习中重要的一种方法,在集成学习方法中最主要的两种方法为Bagging和Boosting,在Bagging中,通过对训练样本重新采样的方法得到不同的训练样本集,在这些新的训练样本集上分别训练学习器,最终合并每一个学习器的结果,作为最终的学习结果,Bagging方法的具体过程如下图所示:

在Bagging方法中,最重要的算法为随机森林Random Forest算法。由以上的图中可以看出,在Bagging方法中,b个学习器之间彼此是相互独立的,这样的特点使得Bagging方法更容易并行。与Bagging方法不同,在Boosting算法中,学习器之间是存在先后顺序的,同时,每一个样本是有权重的,初始时,每一个样本的权重是相等的。首先,第1个学习器对训练样本进行学习,当学习完成后,增大错误样本的权重,同时减小正确样本的权重,再利用第2个学习器对其进行学习,依次进行下去,最终得到b个学习器,最终,合并这b个学习器的结果,同时,与Bagging中不同的是,每一个学习器的权重也是不一样的。Boosting方法的具体过程如下图所示:

梯度下降法

梯度下降法(Gradient Descent,GD)算法是求解最优化问题最简单、最直接的方法。梯度下降法是一种迭代的优化算法,对于优化问题:
minf(w)minf(w)minf(w)

其基本步骤为:

  1. 随机选择一个初始点w0w_{0}w0​
  2. 重复以下过程:
    决定下降的方向:di=−∂∂wf(w)∣wid_{i}=-\frac{\partial }{\partial w}f(w)|w_{i}di​=−∂w∂​f(w)∣wi​
    选择步长ρ
    更新:wi+1=wi+ρ⋅diw_{i+1}=w_{i}+\rho \cdot d_{i}wi+1​=wi​+ρ⋅di​
  3. 直到满足终止条件

梯度下降法的具体过程如下图所示:


由以上的过程,我们可以看出,对于最终的最优解w∗,是由初始值w0经过M代的迭代之后得到的,在这里,设w0=d0,则w∗为:
w∗=∑i=0Mρi⋅diw^{*}=\sum_{i=0}^{M}\rho _{i}\cdot d_{i}w∗=i=0∑M​ρi​⋅di​

GBDT

GBDT概述

GBDT也是集成学习Boosting家族的成员,但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost,我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重,这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代,使用了前向分布算法,但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型,同时迭代思路和Adaboost也有所不同。

在GBDT的迭代中,假设我们前一轮迭代得到的强学习器是ft−1(x)f_{t-1}(x)ft−1​(x), 损失函数是L(y,ft−1(x))L(y, f_{t-1}(x))L(y,ft−1​(x)), 我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器ht(x),让本轮的损失函数L(y,ft(x))=L(y,ft−1(x)+ht(x))L(y, f_{t}(x) )=L(y, f_{t-1}(x)+ h_t(x))L(y,ft​(x))=L(y,ft−1​(x)+ht​(x))最小。也就是说,本轮迭代找到决策树,要让样本的损失尽量变得更小。

GBDT的思想可以用一个通俗的例子解释,假如有个人30岁,我们首先用20岁去拟合,发现损失有10岁,这时我们用6岁去拟合剩下的损失,发现差距还有4岁,第三轮我们用3岁拟合剩下的差距,差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完,可以继续迭代下面,每一轮迭代,拟合的岁数误差都会减小。

从上面的例子看这个思想还是蛮简单的,但是有个问题是这个损失的拟合不好度量,损失函数各种各样,怎么找到一种通用的拟合方法呢?

GBDT的负梯度拟合

在上一节中,我们介绍了GBDT的基本思路,但是没有解决损失函数拟合方法的问题。针对这个问题,大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值,进而拟合一个CART回归树。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为
rti=−[∂L(yi,f(xi)))∂f(xi)]f(x)=ft−1    (x)r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}rti​=−[∂f(xi​)∂L(yi​,f(xi​)))​]f(x)=ft−1​(x)​

利用(xi,rti)    (i=1,2,..m)(x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m)(xi​,rti​)(i=1,2,..m),我们可以拟合一颗CART回归树,得到了第t颗回归树,其对应的叶节点区域Rtj,j=1,2,...,JR_{tj}, j =1,2,..., JRtj​,j=1,2,...,J。其中J为叶子节点的个数。

针对每一个叶子节点里的样本,我们求出使损失函数最小,也就是拟合叶子节点最好的的输出值ctj
如下:
ctj=arg  min⎵c∑xi∈RtjL(yi,ft−1(xi)+c)c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)ctj​=cargmin​​xi​∈Rtj​∑​L(yi​,ft−1​(xi​)+c)

这样我们就得到了本轮的决策树拟合函数如下:
ht(x)=∑j=1JctjI(x∈Rtj)h_t(x) = \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})ht​(x)=j=1∑J​ctj​I(x∈Rtj​)

从而本轮最终得到的强学习器的表达式如下:
ft(x)=ft−1(x)+∑j=1JctjI(x∈Rtj)f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})ft​(x)=ft−1​(x)+j=1∑J​ctj​I(x∈Rtj​)

通过损失函数的负梯度来拟合,我们找到了一种通用的拟合损失误差的办法,这样无轮是分类问题还是回归问题,我们通过其损失函数的负梯度的拟合,就可以用GBDT来解决我们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不同导致的负梯度不同而已。
3. GBDT回归算法

好了,有了上面的思路,下面我们总结下GBDT的回归算法。为什么没有加上分类算法一起?那是因为分类算法的输出是不连续的类别值,需要一些处理才能使用负梯度,我们在下一节讲。

输入是训练集样本T={(x,y1),(x2,y2),...(xm,ym)}T=\{(x_,y_1),(x_2,y_2), ...(x_m,y_m)\}T={(x,​y1​),(x2​,y2​),...(xm​,ym​)}, 最大迭代次数T, 损失函数L。

输出是强学习器f(x)

1) 初始化弱学习器
f0(x)=arg  min⎵c∑i=1mL(yi,c)f_0(x) = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{i=1}^{m}L(y_i, c)f0​(x)=cargmin​​i=1∑m​L(yi​,c)

2) 对迭代轮数t=1,2,…T有:

a)对样本i=1,2,…m,计算负梯度
      rti=−[∂L(yi,f(xi)))∂f(xi)]f(x)=ft−1    (x)r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}rti​=−[∂f(xi​)∂L(yi​,f(xi​)))​]f(x)=ft−1​(x)​

b)利用(xi,rti)(i=1,2,…m), 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树,其对应的叶子节点区域为Rtj,j=1,2,…,J。其中J为回归树t的叶子节点的个数。

c) 对叶子区域j =1,2,…J,计算最佳拟合值
      ctj=arg  min⎵c∑xi∈RtjL(yi,ft−1(xi)+c)c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)ctj​=cargmin​​xi​∈Rtj​∑​L(yi​,ft−1​(xi​)+c)

d) 更新强学习器
      ft(x)=ft−1(x)+∑j=1JctjI(x∈Rtj)f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})ft​(x)=ft−1​(x)+j=1∑J​ctj​I(x∈Rtj​)

3) 得到强学习器f(x)的表达式
    f(x)=fT(x)=f0(x)+∑t=1T∑j=1JctjI(x∈Rtj)f(x) = f_T(x) =f_0(x) + \sum\limits_{t=1}^{T}\sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})f(x)=fT​(x)=f0​(x)+t=1∑T​j=1∑J​ctj​I(x∈Rtj​)

GBDT分类算法

这里我们再看看GBDT分类算法,GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有区别,但是由于样本输出不是连续的值,而是离散的类别,导致我们无法直接从输出类别去拟合类别输出的误差。

为了解决这个问题,主要有两个方法,一个是用指数损失函数,此时GBDT退化为Adaboost算法。另一种方法是用类似于逻辑回归的对数似然损失函数的方法。也就是说,我们用的是类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数,我们又有二元分类和多元分类的区别。

二元GBDT分类算法

对于二元GBDT,如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数,则损失函数为:
L(y,f(x))=log(1+exp(−yf(x)))L(y, f(x)) = log(1+ exp(-yf(x)))L(y,f(x))=log(1+exp(−yf(x)))

其中y∈{−1,+1}。则此时的负梯度误差为
rti=−[∂L(y,f(xi)))∂f(xi)]f(x)=ft−1    (x)=yi/(1+exp(yif(xi)))r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)} = y_i/(1+exp(y_if(x_i)))rti​=−[∂f(xi​)∂L(y,f(xi​)))​]f(x)=ft−1​(x)​=yi​/(1+exp(yi​f(xi​)))

对于生成的决策树,我们各个叶子节点的最佳残差拟合值为
ctj=arg  min⎵c∑xi∈Rtjlog(1+exp(−yi(ft−1(xi)+c)))c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} log(1+exp(-y_i(f_{t-1}(x_i) +c)))ctj​=cargmin​​xi​∈Rtj​∑​log(1+exp(−yi​(ft−1​(xi​)+c)))

由于上式比较难优化,我们一般使用近似值代替
ctj=∑xi∈Rtjrti/∑xi∈Rtj∣rti∣(1−∣rti∣)c_{tj} = \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}r_{ti}\bigg / \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}|r_{ti}|(1-|r_{ti}|)ctj​=xi​∈Rtj​∑​rti​/xi​∈Rtj​∑​∣rti​∣(1−∣rti​∣)
    除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索,二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

多元GBDT分类算法

多元GBDT要比二元GBDT复杂一些,对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K,则此时我们的对数似然损失函数为:
L(y,f(x))=−∑k=1Kyklog  pk(x)L(y, f(x)) = - \sum\limits_{k=1}^{K}y_klog\;p_k(x)L(y,f(x))=−k=1∑K​yk​logpk​(x)

其中如果样本输出类别为k,则yk=1。第k类的概率pk(x)的表达式为:
pk(x)=exp(fk(x))/∑l=1Kexp(fl(x))p_k(x) = exp(f_k(x)) \bigg / \sum\limits_{l=1}^{K} exp(f_l(x))pk​(x)=exp(fk​(x))/l=1∑K​exp(fl​(x))

集合上两式,我们可以计算出第t
轮的第i个样本对应类别l的负梯度误差为
ctjl=arg  min⎵cjl∑i=0m∑k=1KL(yk,ft−1,l(x)+∑j=0JcjlI(xi∈Rtj))c_{tjl} = \underbrace{arg\; min}_{c_{jl}}\sum\limits_{i=0}^{m}\sum\limits_{k=1}^{K} L(y_k, f_{t-1, l}(x) + \sum\limits_{j=0}^{J}c_{jl} I(x_i \in R_{tj}))ctjl​=cjl​argmin​​i=0∑m​k=1∑K​L(yk​,ft−1,l​(x)+j=0∑J​cjl​I(xi​∈Rtj​))

观察上式可以看出,其实这里的误差就是样本i
对应类别l的真实概率和t−1

轮预测概率的差值。

对于生成的决策树,我们各个叶子节点的最佳残差拟合值为
ctjl=K−1K&ThickSpace;∑xi∈Rtjlrtil∑xi∈Rtil∣rtil∣(1−∣rtil∣)c_{tjl} = \frac{K-1}{K} \; \frac{\sum\limits_{x_i \in R_{tjl}}r_{til}}{\sum\limits_{x_i \in R_{til}}|r_{til}|(1-|r_{til}|)}ctjl​=KK−1​xi​∈Rtil< 20000 /span>​∑​∣rtil​∣(1−∣rtil​∣)xi​∈Rtjl​∑​rtil​​

由于上式比较难优化,我们一般使用近似值代替
ctjl=K−1K&ThickSpace;∑xi∈Rtjlrtil∑xi∈Rtil∣rtil∣(1−∣rtil∣)c_{tjl} = \frac{K-1}{K} \; \frac{\sum\limits_{x_i \in R_{tjl}}r_{til}}{\sum\limits_{x_i \in R_{til}}|r_{til}|(1-|r_{til}|)}ctjl​=KK−1​xi​∈Rtil​∑​∣rtil​∣(1−∣rtil​∣)xi​∈Rtjl​∑​rtil​​

除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索,多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。

GBDT常用损失函数

这里我们再对常用的GBDT损失函数做一个总结。

对于分类算法,其损失函数一般有对数损失函数和指数损失函数两种:

a) 如果是指数损失函数,则损失函数表达式为
L(y,f(x))=exp(−yf(x))L(y, f(x)) = exp(-yf(x))L(y,f(x))=exp(−yf(x))

b) 如果是对数损失函数,分为二元分类和多元分类两种。

对于回归算法,常用损失函数有如下4种:

a)均方差,这个是最常见的回归损失函数了
    L(y,f(x))=(y−f(x))2L(y, f(x)) =(y-f(x))^2L(y,f(x))=(y−f(x))2

b)绝对损失,这个损失函数也很常见
L(y,f(x))=∣y−f(x)∣L(y, f(x)) =|y-f(x)|L(y,f(x))=∣y−f(x)∣

对应负梯度误差为:
sign(yi−f(xi))sign(y_i-f(x_i))sign(yi​−f(xi​))

c)Huber损失,它是均方差和绝对损失的折衷产物,对于远离中心的异常点,采用绝对损失,而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下:

L(y,f(x))={12(y−f(x))2∣y−f(x)∣≤δδ(∣y−f(x)∣−δ2)∣y−f(x)∣&gt;δL(y, f(x))= \begin{cases} \frac{1}{2}(y-f(x))^2&amp; {|y-f(x)| \leq \delta}\\ \delta(|y-f(x)| - \frac{\delta}{2})&amp; {|y-f(x)| &gt; \delta} \end{cases}L(y,f(x))={21​(y−f(x))2δ(∣y−f(x)∣−2δ​)​∣y−f(x)∣≤δ∣y−f(x)∣>δ​

对应的负梯度误差为:
r(yi,f(xi))={yi−f(xi)∣yi−f(xi)∣≤δδsign(yi−f(xi))∣yi−f(xi)∣&gt;δr(y_i, f(x_i))= \begin{cases} y_i-f(x_i)&amp; {|y_i-f(x_i)| \leq \delta}\\ \delta sign(y_i-f(x_i))&amp; {|y_i-f(x_i)| &gt; \delta} \end{cases}r(yi​,f(xi​))={yi​−f(xi​)δsign(yi​−f(xi​))​∣yi​−f(xi​)∣≤δ∣yi​−f(xi​)∣>δ​

d) 分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数,表达式为
L(y,f(x))=∑y≥f(x)θ∣y−f(x)∣+∑y&lt;f(x)(1−θ)∣y−f(x)∣L(y, f(x)) =\sum\limits_{y \geq f(x)}\theta|y - f(x)| + \sum\limits_{y &lt; f(x)}(1-\theta)|y - f(x)|L(y,f(x))=y≥f(x)∑​θ∣y−f(x)∣+y<f(x)∑​(1−θ)∣y−f(x)∣

其中θ为分位数,需要我们在回归前指定。对应的负梯度误差为:

r(yi,f(xi))={θyi≥f(xi)θ−1yi&lt;f(xi)r(y_i, f(x_i))= \begin{cases} \theta&amp; { y_i \geq f(x_i)}\\ \theta - 1 &amp; {y_i &lt; f(x_i) } \end{cases}r(yi​,f(xi​))={θθ−1​yi​≥f(xi​)yi​<f(xi​)​

对于Huber损失和分位数损失,主要用于健壮回归,也就是减少异常点对损失函数的影响。

GBDT的正则化

和Adaboost一样,我们也需要对GBDT进行正则化,防止过拟合。GBDT的正则化主要有三种方式。

第一种是和Adaboost类似的正则化项,即步长(learning rate)。定义为ν,对于前面的弱学习器的迭代
    fk(x)=fk−1(x)+hk(x)f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + h_k(x)fk​(x)=fk−1​(x)+hk​(x)

如果我们加上了正则化项,则有:
    fk(x)=fk−1(x)+νhk(x)f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + \nu h_k(x)fk​(x)=fk−1​(x)+νhk​(x)
的取值范围为0<ν≤1。对于同样的训练集学习效果,较小的ν意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。

第二种正则化的方式是通过子采样比例(subsample)。取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不一样,随机森林使用的是放回抽样,而这里是不放回抽样。如果取值为1,则全部样本都使用,等于没有使用子采样。如果取值小于1,则只有一部分样本会去做GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例可以减少方差,即防止过拟合,但是会增加样本拟合的偏差,因此取值不能太低。推荐在[0.5, 0.8]之间。

使用了子采样的GBDT有时也称作随机梯度提升树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。由于使用了子采样,程序可以通过采样分发到不同的任务去做boosting的迭代过程,最后形成新树,从而减少弱学习器难以并行学习的弱点。

第三种是对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。在决策树原理篇里我们已经讲过,这里就不重复了。

GBDT小结

GBDT终于讲完了,GDBT本身并不复杂,不过要吃透的话需要对集成学习的原理,决策树原理和各种损失函树有一定的了解。由于GBDT的卓越性能,只要是研究机器学习都应该掌握这个算法,包括背后的原理和应用调参方法。目前GBDT的算法比较好的库是xgboost。当然scikit-learn也可以。

最后总结下GBDT的优缺点。

GBDT主要的优点有:

1) 可以灵活处理各种类型的数据,包括连续值和离散值。

2) 在相对少的调参时间情况下,预测的准确率也可以比较高。这个是相对SVM来说的。

3)使用一些健壮的损失函数,对异常值的鲁棒性非常强。比如 Huber损失函数和Quantile损失函数。

GBDT的主要缺点有:
由于弱学习器之间存在依赖关系,难以并行训练数据。不过可以通过自采样的SGBT来达到部分并行 .

Xgboost


Adaboost

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