数据结构07——线段树

一.线段树的定义

首先，线段树它是一棵二叉树，但它又不是一个完全二叉树，却是一个平衡二叉树。它和二叉树一样，有一个一个的节点，但是对于线段树而言，它的每一个节点表示的都是一个区间类相应的信息。以求和为例，线段树每个节点，存储的就是一段区间的数字和。根节点存储的就是整个区间的相应的数字和，之后从根节点将这个区间平均分成两段，例如A[0...7],那么它的左孩子就是A[0...3],右孩子就是A[4...7]。对于满二叉树而言，如果有h层，那么其节点数为2^h-1个节点，最后一层（h-1）,有2^（h-1）个节点。线段树其实主要用于解决连续区间的动态高效查询的问题，由于二叉结构的这样一个特性，使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，而且时间复杂度为O(logN）。

二.线段树具体的实现

1.线段树的基础表示

[code]package com.zfy.segmenttree;

public class SegmentTree<E> {

private E[] tree;//声明一个树数组
private E[] data;//声明一个数组

public SegmentTree(E[] arr) {
data = (E[])new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
data[i] = arr[i];
}
tree = (E[])new Object[4 * arr.length];
}

//获取个数
public int getSize(){
return data.length;
}

//按照index获取元素
public E get(int index){
if(index < 0 || index >= data.length)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
return data[index];
}

//返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
private int leftChild(int index){
return 2*index + 1;//是以数组以0为开始的计算
}

//返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
private int rightChild(int index){
return 2*index + 2;
}

}

2.线段树的创建

[code]package com.zfy.segmenttree;

/*
* 计算treeIndex的接口
* */
public interface Merger<E> {

E merge(E a, E b);

}

[code]        private Merger<E> merger;

public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger) {

this.merger = merger;

data = (E[])new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
data[i] = arr[i];
}
tree = (E[])new Object[4 * arr.length];
buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
}

//在treeIndex的位置创建表示区间[l...r]的线段树
private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {

//l==r,就是这个里面只有一个节点
if (l == r) {
tree[treeIndex] = data[r];
return;
}

int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

int mid = l + (r - l) / 2;//区间边界：左边界加上左右边界它们的距离除以2，得到的位置就是中间的位置
buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);

tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);//计算treeIndex

}

3.线段树的查询

[code]	//线段树查询方法，返回区间[queryL, queryR]的值
public E query(int queryL, int queryR) {

if (queryL < 0 || queryL >= data.length || queryR < 0 || queryR >= data.length || queryL > queryR)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");

return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
}

//在以treeIndex为根的线段树中[l...r]的范围里，搜索区间[queryL...queryR]的值
private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {

if (l == queryL && r == queryR)
return tree[treeIndex];

int mid = l + (r - l) / 2;

int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

//如果queryL > mid，则查询其右孩子。反之则为左孩子
if (queryL > mid + 1) {
return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
} else if (queryR <= mid) {
return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
}

E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
return merger.merge(leftResult, rightResult);

}

4.线段树的更新操作

[code]	//将index位置的值，更新为e
public void set(int index, E e) {

if (index < 0 || index >= data.length)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
data[index] = e;
set(0, 0, data.length - 1, index, e);

}

//在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为e
private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {

if (l == r) {
tree[treeIndex] = e;
return;
}
int mid = l + (r - l) / 2;
//treeIndex的节点分为[l...mid]和[mid+1...r]两部分

int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
if(index >= mid + 1)
set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
else // index <= mid
set(leftTreeIndex, l, mid, index, e);

tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}

5.完整代码

[code]package com.zfy.segmenttree;

import com.zfy.segmenttree.Merger;

public class SegmentTree<E> {

private E[] tree;//声明一个树数组
private E[] data;//声明一个数组
private Merger<E> merger;

public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger) {

this.merger = merger;

data = (E[])new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
data[i] = arr[i];
}
tree = (E[])new Object[4 * arr.length];
buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
}

//在treeIndex的位置创建表示区间[l...r]的线段树
private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {

//l==r,就是这个里面只有一个节点
if (l == r) {
tree[treeIndex] = data[r];
return;
}

int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

int mid = l + (r - l) / 2;//区间边界：左边界加上左右边界它们的距离除以2，得到的位置就是中间的位置
buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);

tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);//计算treeIndex

}

//获取个数
public int getSize(){
return data.length;
}

//按照index获取元素
public E get(int index){
if(index < 0 || index >= data.length)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
return data[index];
}

//返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
private int leftChild(int index){
return 2*index + 1;//是以数组以0为开始的计算
}

//返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
private int rightChild(int index){
return 2*index + 2;
}

//线段树查询方法，返回区间[queryL, queryR]的值
public E query(int queryL, int queryR) {

if (queryL < 0 || queryL >= data.length || queryR < 0 || queryR >= data.length || queryL > queryR)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");

return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
}

//在以treeIndex为根的线段树中[l...r]的范围里，搜索区间[queryL...queryR]的值
private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {

if (l == queryL && r == queryR)
return tree[treeIndex];

int mid = l + (r - l) / 2;

int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

//如果queryL > mid，则查询其右孩子。反之则为左孩子
if (queryL > mid + 1) {
return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
} else if (queryR <= mid) {
return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
}

E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
return merger.merge(leftResult, rightResult);

}

//将index位置的值，更新为e
public void set(int index, E e) {

if (index < 0 || index >= data.length)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
data[index] = e;
set(0, 0, data.length - 1, index, e);

}

//在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为e
private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {

if (l == r) {
tree[treeIndex] = e;
return;
}
int mid = l + (r - l) / 2;
//treeIndex的节点分为[l...mid]和[mid+1...r]两部分

int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
if(index >= mid + 1)
set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
else // index <= mid
set(leftTreeIndex, l, mid, index, e);

tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}

@Override
public String toString() {
StringBuilder res = new StringBuilder();
res.append('[');
for (int i = 0; i < tree.length; i++) {
if (tree[i] != null)
res.append(tree[i]);
else
res.append("null");

if (i != tree.length - 1)
res.append(", ");
}
res.append(']');
return res.toString();
}

}

结束语：工欲善其事，必先利其器。而基础就是我们的利器，合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下。对于知识的学习，我还是认为要学好基础。

参考：bobobo老师的玩转数据结构

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