Python的Numpy实现深度学习常用的函数

目录

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常用的激活函数
sigmoid函数

sigmoid函数的梯度

tanh函数

tanh函数的梯度

ReLU函数

图像转矢量

规范化行

广播和softmax函数

numpy矩阵的运算

损失函数
L1损失函数

L2损失函数

参考资料

常用的激活函数

我们常用的激活函数有sigmoid，tanh，ReLU这三个函数，我们都来学习学习吧。

sigmoid函数

在深度学习中，我们经常会使用到sigmoid函数作为我们的激活函数，特别是在二分类上，sigmoid函数是比较好的一个选择，以下就是sigmoid函数的公式：

sigmoid(x)=11+e−x(1)(1)sigmoid(x)=11+e−x

sigmoid函数的坐标图是：



sigmoid函数的代码实现：

import numpy as np

def sigmoid(x):
s = 1 / (1 + np.exp(-x))
return s

因为是使用numpy实现的sigmoid函数的，所以这个sigmoid函数可以计算实数、矢量和矩阵，如下面的就是当x是实数的时候：

if __name__ == '__main__':
x = 3
s = sigmoid(x)
print s

然后会输出：

0.952574126822

当x是矢量或者矩阵是，计算公式如下：

sigmoid(x)=sigmoid⎛⎝⎜⎜⎜x1x2...xn⎞⎠⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜11+e
1cca7
−x111+e−x2...11+e−xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟(2)(2)sigmoid(x)=sigmoid(x1x2...xn)=(11+e−x111+e−x2...11+e−xn)

使用sigmoid函数如下：

if __name__ == '__main__':
x = np.array([2, 3, 4])
s = sigmoid(x)
print s

输出的结果是：

[0.88079708 0.95257413 0.98201379]

sigmoid函数的梯度

为什么要计算sigmoid函数的梯度，比如当我们在使用反向传播来计算梯度，以优化损失函数。当使用的激活函数是sigmoid函数就要计算sigmoid函数的梯度了。计算公式如下：

sigmoid_derivative(x)=σ′(x)=σ(x)(1−σ(x))(3)(3)sigmoid_derivative(x)=σ′(x)=σ(x)(1−σ(x))

Python你代码实现：

import numpy as np

def sigmoid_derivative(x):
s = 1 / (1 + np.exp(-x))
ds = s * (1 - s)
return ds

当x是实数时，计算如下：

if __name__ == '__main__':
x = 3
s = sigmoid_derivative(x)
print s

输出结果如下：

0.0451766597309

当x是矩阵或者矢量时，计算如下：

if __name__ == '__main__':
x = np.array([2, 3, 4])
s = sigmoid_derivative(x)
print s

输出结果如下：

[0.10499359 0.04517666 0.01766271]

tanh函数

tanh也是一个常用的激活函数，它的公式如下：

tanh(x)=ex−e−xex+e−x(4)(4)tanh(x)=ex−e−xex+e−x

tanh的坐标图是：



tanh的代码实现：

import numpy as np

def tanh(x):
s1 = np.exp(x) - np.exp(-x)
s2 = np.exp(x) + np.exp(-x)
s = s1 / s2
return s

为了方便，这里把x是实数、矢量或矩阵的情况一起计算了，调用方法如下：

if __name__ == '__main__':
x = 3
s = tanh(x)
print s
x = np.array([2, 3, 4])
s = tanh(x)
print s

以下就是输出结果：

0.995054753687
[0.96402758 0.99505475 0.9993293 ]

tanh函数的梯度

同样在这里我们也要计算tanh函数的梯度，计算公式如下：

tanh_derivative(x)=tanh′(x)=1−tanh2x=1−(ex−e−xex+e−x)2(5)(5)tanh_derivative(x)=tanh′(x)=1−tanh2⁡x=1−(ex−e−xex+e−x)2

Python代码实现如下：

import numpy as np

def tanh_derivative(x):
s1 = np.exp(x) - np.exp(-x)
s2 = np.exp(x) + np.exp(-x)
tanh = s1 / s2
s = 1 - tanh * tanh
return s

调用方法如下：

if __name__ == '__main__':
x = 3
s = tanh_derivative(x)
print s
x = np.array([2, 3, 4])
s = tanh_derivative(x)
print s

输出结果如下：

0.00986603716544
[0.07065082 0.00986604 0.00134095]

ReLU函数

ReLU是目前深度学习最常用的一个激活函数，数学公式如下：

relu(x)=max(0,x)={x，0，ifx>0ifx≤0(6)(6)relu(x)=max(0,x)={x，ifx>00，ifx≤0

其对应的坐标图为：



Python代码的实现：

import numpy as np

def relu(x):
s = np.where(x < 0, 0, x)
return s

调用方式如下：

if __name__ == '__main__':
x = -1
s = relu(x)
print s
x = np.array([2, -3, 1])
s = relu(x)
print s

输出结果如下：

0
[2 0 1]

图像转矢量

为了提高训练是的计算速度，一般会把图像转成矢量，一张三通道的图像的格式是(width,height,3)(width,height,3)会转成(width∗height∗3,1)(width∗height∗3,1)，我们使用Python代码尝试一下：

import numpy as np

def image2vector(image):
v = image.reshape((image.shape[0] * image.shape[1] * image.shape[2], 1))
return v

调用方法如下：

if __name__ == '__main__':
image = np.array([[[0.67826139, 0.29380381],
[0.90714982, 0.52835647],
[0.4215251, 0.45017551]],

[[0.92814219, 0.96677647],
[0.85304703, 0.52351845],
[0.19981397, 0.27417313]],

[[0.60659855, 0.00533165],
[0.10820313, 0.49978937],
[0.34144279, 0.94630077]]])
vector = image2vector(image)
print "image shape is :", image.shape
print "vector shape is :", vector.shape
print "vector is :" + str(image2vector(image))

输出结果如下：

image shape is : (3, 3, 2)
vector shape is : (18, 1)
vector is :[[0.67826139]
[0.29380381]
[0.90714982]
[0.52835647]
[0.4215251 ]
[0.45017551]
[0.92814219]
[0.96677647]
[0.85304703]
[0.52351845]
[0.19981397]
[0.27417313]
[0.60659855]
[0.00533165]
[0.10820313]
[0.49978937]
[0.34144279]
[0.94630077]]

规范化行

在深度学习中通过规范化行，可以使模型收敛得更快。它的计算公式如下：

x=[023644](7)(7)x=[034264] then

∥x∥=np.linalg.norm(x,axis=1,keepdims=True)=[556−−√](8)(8)‖x‖=np.linalg.norm(x,axis=1,keepdims=True)=[556]and

x_normalized=x∥x∥=[0256√35656√45456√](9)(9)x_normalized=x‖x‖=[03545256656456]

Python代码实现：

import numpy as np

def normalizeRows(x):
x_norm = np.linalg.norm(x, axis=1, keepdims=True)
print "x_norm = ", x_norm
x = x / x_norm
return x

调用该函数：

if __name__ == '__main__':
x = np.array([
[0, 3, 4],
[1, 6, 4]])
print "normalizeRows(x) = " + str(normalizeRows(x))

输出结果如下：

x_norm =  [[5.        ]
[7.28010989]]
normalizeRows(x) = [[0.         0.6        0.8       ]
[0.13736056 0.82416338 0.54944226]]

广播和softmax函数

广播是将较小的矩阵“广播”到较大矩阵相同的形状尺度上，使它们对等以可以进行数学计算。注意的是较小的矩阵要是较大矩阵的倍数，否则无法使用广播。

以下就是softmax函数，这函数在计算的过程就使用到了广播的性质。softmax函数的公式如下：

x∈R1×n, softmax(x)=softmax([x1x2...xn])=[ex1∑jexjex2∑jexj...exn∑jexj](10)(10)x∈R1×n, softmax(x)=softmax([x1x2...xn])=[ex1∑jexjex2∑jexj...exn∑jexj]

x∈Rm×n, xijsoftmax(x)=softmax⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢x11x21⋮xm1x12x22⋮xm2x13x23⋮xm3……⋱…x1nx2n⋮xmn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ex11∑jex1jex21∑jex2j⋮exm1∑jexmjex12∑jex1jex22∑jex2j⋮exm2∑jexmjex13∑jex1jex23∑jex2j⋮exm3∑jexmj……⋱…ex1n∑jex1jex2n∑jex2j⋮exmn∑jexmj⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎛⎝⎜⎜⎜⎜softmax(first row of x)softmax(second row of x)...softmax(last row of x)⎞⎠⎟⎟⎟⎟(11)(11)x∈Rm×n, xijsoftmax(x)=softmax[x11x12x13…x1nx21x22x23…x2n⋮⋮⋮⋱⋮xm1xm2xm3…xmn]=[ex11∑jex1jex12∑jex1jex13∑jex1j…ex1n∑jex1jex21∑jex2jex22∑jex2jex23∑jex2j…ex2n∑jex2j⋮⋮⋮⋱⋮exm1∑jexmjexm2∑jexmjexm3∑jexmj…exmn∑jexmj]=(softmax(first row of x)softmax(second row of x)...softmax(last row of x))

Python代码的实现：

import numpy as np

def softmax(x):
x_exp = np.exp(x)
x_sum = np.sum(x_exp, axis=1, keepdims=True)
print "x_sum = ", x_sum
s = x_exp / x_sum
return s

调用该函数：

if __name__ == '__main__':
x = np.array([
[9, 2, 5, 0, 0],
[7, 5, 0, 0, 0]])
print "softmax(x) = " + str(softmax(x))

输出结果如下：

x_sum =  [[8260.88614278]
[1248.04631753]]
softmax(x) = [[9.80897665e-01 8.94462891e-04 1.79657674e-02 1.21052389e-04 1.21052389e-04]
[8.78679856e-01 1.18916387e-01 8.01252314e-04 8.01252314e-04 8.01252314e-04]]

numpy矩阵的运算

numpy计算矩阵的有三种：np.dot()，np.outer()，np.multiply()。它们的运算如下：

# coding=utf-8
import numpy as np

if __name__ == '__main__':
s1 = [[1,2,3],[4,5,6]]
s2 = [[2,2],[3,3],[4,4]]
# 跟线性代数计算矩阵一样，(1*15)*(15*1)=(1*1)
dot = np.dot(s1, s2)
print 'dot = ', dot
# x1第一个元素跟x1的每一个元素相乘作为第一行，x2第二个元素跟x2每一个元素相乘作为第二个元素....
outer = np.outer(s1, s2)
print 'outer = ', outer
x1 = [9, 2, 5, 0, 0, 7, 5, 0, 0, 0, 9, 2, 5, 0, 0]
x2 = [9, 2, 2, 9, 0, 9, 2, 5, 0, 0, 9, 2, 5, 0, 0]
# x1中的元素和x2中的元素一一对应相乘
mul = np.multiply(x1, x2)
print 'mul = ', mul

输出结果如下：

dot =  [[20 20]
[47 47]]
outer =  [[ 2  2  3  3  4  4]
[ 4  4  6  6  8  8]
[ 6  6  9  9 12 12]
[ 8  8 12 12 16 16]
[10 10 15 15 20 20]
[12 12 18 18 24 24]]
mul =  [81  4 10  0  0 63 10  0  0  0 81  4 25  0  0]

损失函数

损失用于评估模型的性能。损失越大，你的预测y^y^就越不同于真实的值yy。在深度学习中，您可以使用梯度下降等优化算法来训练模型并最大限度地降低成本。

L1损失函数

L1损失函数的公式如下：

L1(y^,y)=∑i=0m|y(i)−y^(i)|(12)(12)L1(y^,y)=∑i=0m|y(i)−y^(i)|

Python代码实现：

import numpy as np

def L1(yhat, y):
loss = np.sum(abs(y - yhat))
return loss

调用该函数：

if __name__ == '__main__':
yhat = np.array([.9, 0.2, 0.1, .4, .9])
y = np.array([1, 0, 0, 1, 1])
print("L1 = " + str(L1(yhat, y)))

输入结果如下：

L1 = 1.1

L2损失函数

L2损失函数的公式如下：

L2(y^,y)=∑i=0m(y(i)−y^(i))2(13)(13)L2(y^,y)=∑i=0m(y(i)−y^(i))2

Python代码实现：

import numpy as np

def L2(yhat, y):
loss = np.sum(np.multiply((y - yhat), (y - yhat)))
return loss

调用该函数：

if __name__ == '__main__':
yhat = np.array([.9, 0.2, 0.1, .4, .9])
y = np.array([1, 0, 0, 1, 1])
print("L2 = " + str(L2(yhat, y)))

输入结果如下：

L2 = 0.43

参考资料

https://baike.baidu.com/item/tanh

https://baike.baidu.com/item/Sigmoid%E5%87%BD%E6%95%B0

http://deeplearning.ai/

该笔记是学习吴恩达老师的课程写的。初学者入门，如有理解有误的，欢迎批评指正！