线性代数学习-02-03.矩阵乘法

矩阵消元

三行三元的消元步骤1是这样的:

⎧⎩⎨⎪⎪2x+4y−2z=24x+9y−3z=8−2x−3y+7z=10
20000
{2x+4y−2z=24x+9y−3z=8−2x−3y+7z=10

⎧⎩⎨⎪⎪2x+4y−2z=20x+1y−1z=4−2x−3y+7z=10{2x+4y−2z=20x+1y−1z=4−2x−3y+7z=10

用矩阵来表示就是找到E21E21矩阵，使得第2行第1列的元变为0:

E21=⎡⎣⎢⎢1−20010001⎤⎦⎥⎥E21=[100−210001]

Ax=bAx=b变为了E21Ax=E21bE21Ax=E21b:

E21Ax=⎡⎣⎢⎢1−20010001⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢24−249−3−2−37⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢xyz⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢20−241−3−2−17⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢xyz⎤⎦⎥⎥E21Ax=[100−210001][24−249−3−2−37][xyz]=[24−201−1−2−37][xyz]

E21b=⎡⎣⎢⎢1−20010001⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢2810⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢2410⎤⎦⎥⎥E21b=[100−210001][2810]=[2410]

矩阵乘法

从上面的例子可以知道E(Ax)=(EA)xE(Ax)=(EA)x:

EA=⎡⎣⎢⎢1−20010001⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢24−249−3−2−37⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢20−241−3−2−17⎤⎦⎥⎥EA=[100−210001][24−249−3−2−37]=[24−201−1−2−37]

结合律

A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C

交换律是不成立的:

AB≠BAAB≠BA

矩阵乘法

矩阵A乘以矩阵B的第j列，作为结果矩阵的第j列

AB=A[b1b2b3]=[Ab1Ab2Ab3]AB=A[b1b2b3]=[Ab1Ab2Ab3]

使用置换矩阵(Permutation matrix)PijPij交换行

P23=⎡⎣⎢⎢100001010⎤⎦⎥⎥P23=[100001010]

P23P23表示置换矩阵的一种,行交换矩阵(Row Exchange Matrix)，可以用于交换第2和第3行

⎡⎣⎢⎢100001010⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢200406135⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢200460153⎤⎦⎥⎥[100001010][241003065]=[241065003]

Row Exchange Matrix:

PijPij是通过将单位矩阵的i行和j行交换得到，用该矩阵乘以其他矩阵，会交换其他矩阵的i行和j行

增广矩阵(Augmented Maxtrix)

可以向矩阵A增加一列b:

[Ab]=⎡⎣⎢⎢24−249−3−2−372810⎤⎦⎥⎥[Ab]=[24−2249−38−2−3710]

消元的过程变为:

⎡⎣⎢⎢1−20010001⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢24−249−3−2−372810⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢20−241−3−2172410⎤⎦⎥⎥[100−210001][24−2249−38−2−3710]=[24−220114−2−3710]

其中第二行0,1,1,4表示x2+x3=4x2+x3=4

矩阵乘法E[Ab]E[Ab]的两种计算方式:

Rows:E的每行acts on [Ab][Ab]，作为[EAEb][EAEb]的行

Columns:E acts on [Ab][Ab]的每列，作为[EAEb][EAEb]的列

每一步的Elimination操作都是影响一行的改变,E32E31E21AE32E31E21A最终得到了三角矩阵