【中国大学mooc—浙江大学数据结构2018春】1.3节求最大子列和问题，算法3的实现（对应作业题目：01-复杂度1 最大子列和问题）

01-复杂度1 最大子列和问题（20 分）

给定K个整数组成的序列{ N​1​​, N​2​​, ..., N​K​​ }，“连续子列”被定义为{ N​i​​, N​i+1​​, ..., N​j​​ }，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：数据1：与样例等价，测试基本正确性；
数据2：102个随机整数；
数据3：103个随机整数；
数据4：104个随机整数；
数据5：105个随机整数；

输入格式:

输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:

20

思路：

主要是利用递归思想，如下图所示，调用递归函数对子列不断平分，直到子列中只有一个数字。主要要比较三个值：分界线左边的最大子列和、分界线右边的最大子列和、跨分界线的最大子列和。三者中的最大值即为最大子列和。
一开始没有理清递归函数的调用过程，调试单步执行之后记录了每次的变量结果，对递归函数的调用有了比较清楚的认识。（单步执行的结果贴在最后。）

代码：

#include <cstdio>

int max3(int a,int b,int c)
{//利用三目运算符返回三个数中的最大值
return a>b?(a>c?a:c):(b>c?b:c);
}

int dac(int List[],int left,int right)
{//分治法求List[left]到 List[right]的最大子列和
int maxleftsum=0,maxrightsum=0;		//存放左边子列和右边子列的最大子列和
int leftsum=0,rightsum=0;
int leftbodersum=0,rightbodersum=0;	//存放跨分界线（center即为分界线）的最大子列和（leftbodersum+rightbodersum）

if(left==right)				//递归终止的条件：子列中只有一个数字
{
if(List[left]>0){
return List[left];	//大于0则返回数字，否则返回0（题目要求）
}
else return 0;
}

int center;
center=(left+right)/2;		//找到中分点

//递归求得两边子列的最大子列和
maxleftsum=dac(List,left,center);
maxrightsum=dac(List,center+1,right);

//for循环求跨分界线的最大子列和
for(int i=center;i>=left;i--)	//从分界线向左边扫描
{
leftsum += List[i];
if(leftsum>leftbodersum){
leftbodersum=leftsum;
}
}

for(int j=center+1;j<=right;j++)	//从分界线向右边扫描
{
rightsum += List[j];
if(rightsum>rightbodersum){
rightbodersum=rightsum;
}
}

//返回“治”的结果：左边最大子列和、右边最大子列和、跨分界线的最大子列和，三者中的最大值即为答案
return max3(leftsum,rightsum,leftbodersum+rightbodersum);
}

int main()
{
int k,n,num=0;
int maxsum;
int List[10];	//提交到PAT时要记得改成List[100010]（题干说明最多只有10^5个数字）
scanf("%d",&k);
for(int i=0;i<k;i++)
{
scanf("%d",&n);
List[i]=n;
num++;
}
maxsum=dac(List,0,num-1);
printf("%d\n",maxsum);
return 0;
}

//老师的代码
int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}

int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/

int LeftBorderSum, RightBorderSum;
int center, i;

if( left == right ) { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
if( List[left] > 0 ) return List[left];
else return 0;
}

/* 下面是"分"的过程 */
center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
/* 递归求得两边子列的最大和 */
MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );

/* 下面求跨分界线的最大子列和 */
MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
LeftBorderSum += List[i];
if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
} /* 左边扫描结束 */

MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
RightBorderSum += List[i];
if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
} /* 右边扫描结束 */

/* 下面返回"治"的结果 */
return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}

int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
{ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
}

单步执行结果：

以该数组为例：



step            left            right            center            执行步骤
   1                0                5                    2                maxleftsum
   2                0                2                    1                maxleftsum

   3                0                1                    0                maxleftsum

   4                0                0                    /                 left==right -> List[left]==-2<0 -> return 0
   5                0                1                    0                maxrightsum

   6                1                1                    /       
8b98
         left==right -> List[left]==11>0 ->return 11

   7                0                1                    0                执行for循环，计算跨界子列最大和

   8                0                2                    1                maxrightsum

   9                2                2                    /                 left==right ->List[left]==-4<0 ->return 0

  10               0                2                    1                执行for循环

  11               0                5                    2                maxrightsum

  12               3                5                    4                maxleftsum

  13               3                4                    3                maxleftsum
  14               3                3                    /                 left==right ->List[left]==13>0 ->return 13

  15               3                4                    3                maxrightsum
  16               4                4                    /                 left==right ->List[left]==-5<0 ->return 0
  17               3                4                    3                for循环

  18               3                5                    4                maxrightsum

  19               5                5                    /                 left==right ->List[left]==-2<0 ->return 0

  20               3                5                    4                for循环

  21               0                5                    2                for循环