数据结构 B+树 索引

具体参见：http://blog.csdn.net/hust_dxxxd/article/details/50905446

部分转自：https://www.cnblogs.com/gengsc/p/7230514.html

1. B树

我们知道，B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉（下面你会看到，相对于二叉，B树每个内结点有多个分支，即多叉）平衡查找树。与本blog之前介绍的红黑树很相似，但在降低磁盘I/0操作方面要更好一些。许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构，如下文即将要介绍的B+树，B*树来存储信息。

B树与红黑树最大的不同在于，B树的结点可以有许多子女，从几个到几千个。那为什么又说B树与红黑树很相似呢?因为与红黑树一样，一棵含n个结点的B树的高度也为O（lgn），但可能比一棵红黑树的高度小许多，应为它的分支因子比较大。所以，B树可以在O（logn）时间内，实现各种如插入（insert），删除（delete）等动态集合操作。

如下图所示，即是一棵B树，一棵关键字为英语中辅音字母的B树，现在要从树种查找字母R（包含n[x]个关键字的内结点x，x有n[x]+1]个子女（也就是说，一个内结点x若含有n[x]个关键字，那么x将含有n[x]+1个子女）。所有的叶结点都处于相同的深度，带阴影的结点为查找字母R时要检查的结点）：



B树 特性：

1）树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；

2）除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；

3） 若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；

4）所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；

5）每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，……，Kn，Pn)。其中：

a) Ki (i=1…n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。

b) Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。

c) 关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。如下图所示：



B树的类型和节点定义如下图所示：





假如每个盘块可以正好存放一个B树的结点（正好存放2个文件名）。那么一个BTNODE结点就代表一个盘块，而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。

下面，咱们来模拟下查找文件29的过程：

根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 1次】

此时内存中有两个文件名17、35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：17<29<35，因此我们找到指针p2。

根据p2指针，我们定位到磁盘块3，并将
b607
其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 2次】

此时内存中有两个文件名26，30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：26<29<30，因此我们找到指针p2。

根据p2指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 3次】

此时内存中有两个文件名28，29。根据算法我们查找到文件名29，并定位了该文件内存的磁盘地址。

分析上面的过程，发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于IO操作是影响整个B树查找效率的决定因素。

当然，如果我们使用平衡二叉树的磁盘存储结构来进行查找，磁盘4次，最多5次，而且文件越多，B树比平衡二叉树所用的磁盘IO操作次数将越少，效率也越高。

根据上面的例子我们可以看出，对于辅存做IO读的次数取决于B树的高度。

B树的高度由什么决定的呢？

若B树某一非叶子节点包含N个关键字，则此非叶子节点含有N+1个孩子结点，而所有的叶子结点都在第I层，我们可以得出：

因为根至少有两个孩子，因此第2层至少有两个结点。
除根和叶子外，其它结点至少有┌m/2┐个孩子，
因此在第3层至少有2*┌m/2┐个结点，
在第4层至少有2*(┌m/2┐^2)个结点，
在第 I 层至少有2*(┌m/2┐^(l-2) )个结点，于是有： N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-2；
考虑第L层的结点个数为N+1，那么2*(┌m/2┐^(l-2)）≤N+1，也就是L层的最少结点数刚好达到N+1个，即： I≤ log┌m/2┐((N+1)/2 )+2；

　　所以

当B树包含N个关键字时，B树的最大高度为l-1（因为计算B树高度时，叶结点所在层不计算在内），即：
l - 1 = log┌m/2┐((N+1)/2 )+1。

　　这个B树的高度公式从侧面显示了B树的查找效率是相当高的。

曾在一次面试中被问到，一棵含有N个总关键字数的m阶的B树的最大高度是多少?答曰：log_ceil（m/2）(N+1)/2 + 1 （上面中关于m阶B树的第1点特性已经提到：树中每个结点含有最多含有m个孩子，即m满足：ceil(m/2)<=m<=m。而树中每个结点含孩子数越少，树的高度则越大，故如此）。在2012微软4月份的笔试中也问到了此问题。

2. B+树

是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树。

一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于：

1.有n棵子树的结点中含有n-1 个关键字； (此处颇有争议，B+树到底是与B 树n棵子树有n-1个关键字 保持一致，还是不一致：B树n棵子树的结点中含有n个关键字，待后续查证。暂先提供两个参考链接)

2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)



为什么说B+-tree比B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？

1) B+-tree的磁盘读写代价更低

B+-tree的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。

举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+ 树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候，B 树就比B+ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。

2) B+-tree的查询效率更加稳定

由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

3）B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。正是为了解决这个问题，B+树应运而生。B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）。

补充：

索引主要进行提高数据的查询速度。 当进行DML时，会更新索引。因此索引越多，则DML越慢，其需要维护索引。 因此在创建索引及DML需要权衡。

创建索引:

单一索引:

Create Index On(Column_Name);

复合索引:

Create Index i_deptno_job onemp(deptno,job);

—>在emp表的deptno、job列建立索引。

DBA经常用 REBUILD 来重建索引可以减少硬盘碎片和提高应用系统的性能。

ALTER INDEX emp_ix REBUILD REVERSE;   //修改索引
drop index pk_dept;     //删除索引

3.面试案例

题目1： Mysql数据库用过吧？l里面的索引是基于什么数据结构。

答：主要是基于Hash表和B+树

题目2： 请你说一下B+树的实现细节是什么样的？B-树和B+树有什么区别？联合索引在B+树中如何存储？

答: 首先，数据库使用树型结构来增加查询效率，并保持有序。

那么，为什么不使用二叉树来实现数据结构呢，二叉树算法时间复杂度是lg(N)，查询速度和比较次数都是较小的。

实际上，查询索引操作最耗资源的不在内存中，而是磁盘IO。索引是存在磁盘上的，当数据量比较大的时候，索引的大小可能达到几个G。

那么，我们利用索引进行查询的时候，不可能把索引直接加载到内存中，只能一次读取一个磁盘页，一个磁盘页对应着一个节点，一次读取操作时一个磁盘io。

在二叉树查询时，最坏的情况下查找的次数是树的高度，即io次数为树的高度。B-树就是比二叉树“矮胖”的树。

B树的特征如下：

根节点至少有两个子女

每个中间节点包含k-1个元素和k个孩子，其中 m/2 <= k <= m

每个叶子节点包含k-1个元素，其中 m/2 <= k <= m

所有叶子节点位于同一层

节点中的元素从小到大排列，正好是孩子节点的值域。（就是孩子节点的元素都比父节点中元素的最小值大，比父节点元素的最大值小）

B-树查询的次数并不比二叉树的次数小，但是相比起磁盘io速度，内存中比较的耗时就不足为提了。所以只要树的高度足够低，io次数少，就可以提升查找性能。而每个节点中有多个元素，都只在内存中操作。

而B+树是基于B-树的，增加了如下规则：

有k个子树的中间节点包含有k个元素（B树中是k-1个元素），每个元素不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。

所有的叶子结点中包含了全部元素的信息，及指向含这些元素记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

所有的中间节点元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素。

所以，B+树对比B-树有如下好处：

io次数少：b+树中间节点只存索引，不存在实际的数据，所以可以存储更多的数据。索引树更加的矮胖，io次数更少。

性能稳定：b+树数据只存在于叶子节点，查询性能稳定

范围查询简单：b+树不需要中序遍历，遍历链表即可。